接続を右から左へたどる

量子力学入門　第7部 第6章 §7.6.2　★★ 透過率 $T\sim\mathrm{e}^{-2\int|p|\mathrm{d} x/\hbar}$ の導出

III $\to$ II. 進行波の接続には第3の公式 (7.4.4) を（回帰点 $b$ について）使う：

$$\varphi_{\mathrm{II}}(x)=\frac{-\mathrm{i} C}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(+\frac1\hbar\int_x^b\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr) =\frac{-\mathrm{i} C\,\mathrm{e}^{L}}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_a^x\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr), \qquad \boxed{\ L:=\frac1\hbar\int_a^b\rho(x')\,\mathrm{d} x'\ }$$

（第2の等号は $\int_x^b=\int_a^b-\int_a^x$ の書き換え）。障壁内の解は $x=b$ 側から見ると増大解、$x=a$ 側から見ると「係数 $\mathrm{e}^L$ 付きの減衰解」である。

II $\to$ I. 回帰点 $a$ について「$-$」型 (7.4.2) を（左右を反転した形で）使うと

$$\varphi_{\mathrm I}(x)=\frac{-2\mathrm{i} C\,\mathrm{e}^{L}}{\sqrt p}\cos\Bigl(\frac1\hbar\int_x^a p\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr) =\frac{-\mathrm{i} C\,\mathrm{e}^{L}}{\sqrt p}\Bigl[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac1\hbar\int_x^a p\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\right)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\left(\frac1\hbar\int_x^a p\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\right)} \Bigr].$$

$\cos$ を指数に開いた第1項は左向き位相（$x$ が減ると位相が増える）＝入射波、第2項は反射波である。入射波の振幅は $|C|\mathrm{e}^{L}$、透過波（III）の振幅は $|C|$。よって透過率は

$$\boxed{\ T=\frac{|\text{透過波}|^2}{|\text{入射波}|^2}=\mathrm{e}^{-2L} =\exp\Bigl(-\frac2\hbar\int_a^b\sqrt{2m\bigl(V(x')-E\bigr)}\,\mathrm{d} x'\Bigr)\ }\tag{7.6.1}$$

指数の中身は「障壁の高さの平方根を幅にわたって積分したもの」——障壁の面積が大きいほど指数的に透過しにくい。なお (7.6.1) と同時に反射率 $R=1$ が出てしまう（$|$入射$|=|$反射$|$）のは矛盾ではない：WKB は $T$ を指数の精度で与える近似であり、$R=1-T=1-\mathrm{e}^{-2L}$ の $\mathrm{e}^{-2L}$ は指数的に小さい補正として WKB の精度の外にある。(7.6.1) が信頼できるのは $L\gg1$（$T\ll1$）の「厚い障壁」の場合である。