他の近似法との使い分け・部どうしの接続

量子力学入門　第7部 第7章 §7.7.1　★ 全体の俯瞰と部どうしの位置づけ

この部を閉じるにあたり、これまでに学んだ近似法の中での WKB の位置づけを整理する。

摂動論との違い（第6部『摂動論と変分法』の第1章）. 摂動論は「ハミルトニアンが可解な部分＋小さな補正」に分けられるときの展開で、展開パラメータは摂動の強さである。WKB は分け方を要求せず、展開パラメータは$\hbar$（＝波長の短さ）。トンネルの透過率 $\mathrm{e}^{-2L}$ は $\hbar$ について $\mathrm{e}^{-c/\hbar}$ の形であり、$\hbar$ のべき級数のすべての次数で $0$——摂動論では原理的に届かない「非摂動的」な量を、WKB は最下次で捉える。両者は捕まえる物理が違うのであって、優劣ではない。

変分法との違い（第6部『摂動論と変分法』の第2章）. 変分法は基底状態（と少数の低励起状態）のエネルギーの上界を与える方法で、波動関数の大域的な形の良し悪しがすべてを決める。WKB は逆に高励起状態（$n$ 大＝波長短）で強く、低い準位ほど精度が落ちる（例題5.2で見たとおり、それでも実用上は驚くほど良いが）。「下から数えるなら変分法、上から数えるなら WKB」という補完関係にある。

行列力学的な厳密解との関係. 調和振動子（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1）のように代数で厳密に解ける系では、WKB は検算あるいは古典描像との橋渡しとして働く。Kronig–Penney 模型（第2部『対称性と結晶バンド』の第2章）で壁を高くした極限の透過の議論や、固体中の電界放出・Zener トンネリングは、この部のトンネル公式 (7.6.1) の直接の応用先である。

数学的手法との接続. Airy 関数の漸近形 (7.4.1) の導出は複素積分の鞍点法そのものである（数学的手法の教科書「鞍点法」の章）。また経路積分の停留位相近似（第1章）は、鞍点法の「無限次元版」と読める。半古典近似とは、解析学の漸近展開の技術が量子力学に現れたものにほかならない。