Trotter 分解：時間発展を細切れにする

量子力学入門　第7部 第8章 §7.8.1　★ 経路積分の構成原理（発展）

第1章で「確率振幅はあらゆる経路の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の和」という描像を借り、第2章でその位相に座る作用 $S$ を整備した。本章ではこの描像を標語からきちんとした定式化に昇格させる：Schrödinger 方程式から経路積分を導出し（Trotter 分解）、自由粒子と調和振動子で厳密に計算してみせ、停留位相近似が WKB とどう噛み合うかを確認する。

求めたいのは伝播関数（propagator）——「時刻 $0$ に $x_i$ にいた粒子が時刻 $T$ に $x_f$ で見つかる振幅」——である：

$$K(x_f,T;x_i,0):=\langle x_f |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat HT/\hbar}| x_i \rangle ,\qquad \hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x).$$

困難は $\hat p^2/2m$ と $V(\hat x)$ が可換でないことにある（可換なら指数が分解できて話が終わる）。そこで時間を $N$ 等分（$\varepsilon:=T/N$）し、微小時間なら分解の誤差が高次になることを使う：

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon\hat H/\hbar} =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon\hat p^2/2m\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon V(\hat x)/\hbar}+O(\varepsilon^2)$$

（誤差の主要項は $\tfrac{\varepsilon^2}{2\hbar^2}\left[\hat p^2/2m,\,V\right]$：第2部『対称性と結晶バンド』の第1章の CBH 公式そのもの）。$N$ 個の積では誤差が $N\times O(\varepsilon^2)=O(T^2/N)\to0$ となるから

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat HT/\hbar}=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon\hat p^2/2m\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon V(\hat x)/\hbar}\Bigr)^{\!N}$$

（Trotter の積公式）。各因子の間に完全性 $\hat1=\int\mathrm{d} x_j| x_j \rangle \langle x_j |$ を $N-1$ 回、さらに運動項を評価するために $\hat1=\int\mathrm{d} p_j| p_j \rangle \langle p_j |$ を挟むと、1ステップは

$$\langle x_{j+1} |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon\hat p^2/2m\hbar}| x_j \rangle \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon V(x_j)/\hbar} =\int\frac{\mathrm{d} p_j}{2\pi\hbar}\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Bigl(p_j\frac{x_{j+1}-x_j}{\varepsilon}-\frac{p_j^2}{2m}-V(x_j)\Bigr)\varepsilon\Bigr].$$

——括弧の中は $p\dot x-H$、すなわち位相空間経路積分（§7.2.3 (iii) の出発点）が導出された。$p_j$ 積分はガウス積分（Fresnel 積分）で厳密に実行でき、停留点 $p_j=m(x_{j+1}-x_j)/\varepsilon$ での値は $\frac{m}{2}\bigl(\frac{x_{j+1}-x_j}{\varepsilon}\bigr)^2$——Legendre 変換 $\max_p[p\dot x-H]=L$ がガウス積分として実行される（§7.2.3 で予告した構造）。まとめると

$$\boxed{\ K(x_f,T;x_i,0)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}\Bigr)^{\!N/2}\!\int\prod_{j=1}^{N-1}\mathrm{d} x_j\ \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\Bigl(\frac{m}{2}\frac{(x_{j+1}-x_j)^2}{\varepsilon}-V(x_j)\Bigr)\varepsilon\Bigr]\ }\tag{7.8.1}$$

（$x_0=x_i$、$x_N=x_f$）。指数の肩は折れ線経路に沿った作用のリーマン和であり、(7.8.1) を

$$K=\int\mathcal Dx\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$$

と略記する。「あらゆる経路の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の和」は、Trotter 分解と完全性の挿入だけから従う定理である——第1章の標語がここで回収された。

図 8.1：両端を固定したあらゆる経路が $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ で寄与する。$\hbar\to0$ では停留経路（古典経路、太線）の近傍だけが生き残る。