自由粒子：最初の厳密計算

量子力学入門　第7部 第8章 §7.8.2　★ 経路積分の基礎例（発展）

$V=0$ では (7.8.1) はガウス積分の繰り返しで厳密に閉じる。2つのガウス核の畳み込みがまたガウス核になる（時間が足し算される）ことを繰り返すと

$$\boxed{\ K_0(x_f,T;x_i,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar T}}\ \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\frac{m(x_f-x_i)^2}{2T}\Bigr]\ }\tag{7.8.2}$$

（この $K_0$ が Schrödinger 方程式と初期条件 $K_0\to\delta(x_f-x_i)$ を満たすことは直接代入で確認済み）。指数の肩を見よ：$\frac{m(x_f-x_i)^2}{2T}$ は自由粒子の古典作用そのものであり（§7.2.6 で Hamilton–Jacobi 方程式の検算に使った関数！）、前係数はゆらぎの寄与である。つまり厳密解が既に

$$K=(\text{ゆらぎ因子})\times\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm cl}/\hbar}$$

の形をしている——これが一般構造（van Vleck 形）の雛形になる。