調和振動子：ゆらぎまで込めて厳密に解く

量子力学入門　第7部 第8章 §7.8.3　★ 経路積分の代表計算（発展）

$V=\frac12m\omega^2x^2$ でも作用が2次なので厳密に解ける。鍵は経路を

$$x(t)=x_{\rm cl}(t)+\eta(t),\qquad \eta(0)=\eta(T)=0$$

と、古典経路＋ゆらぎに分けることである。$S$ は2次だから展開はちょうど2次で切れ、しかも1次の項（交差項）は古典経路が運動方程式を満たすことで消える：

$$S[x]=S_{\rm cl}+S_2[\eta],\qquad S_2[\eta]=\int_0^T\Bigl(\frac{m\dot\eta^2}{2}-\frac{m\omega^2\eta^2}{2}\Bigr)\mathrm{d} t$$

——積分変数を $\eta$ に移せば、伝播関数は厳密に

$$K=\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm cl}/\hbar}\times\underbrace{\int\mathcal D\eta\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S_2[\eta]/\hbar}}_{=:F(T)\ (\text{端点によらない})}$$

と因子化する。それぞれを計算する。

古典作用.

境界条件 $x(0)=x_i$、$x(T)=x_f$ の古典解を積分すると（計算は SymPy で検証済み）

$$S_{\rm cl}=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\Bigl[(x_i^2+x_f^2)\cos\omega T-2x_ix_f\Bigr].\tag{7.8.3}$$

$\omega\to0$ で $\frac{m(x_f-x_i)^2}{2T}$（自由粒子）に戻ることも確かめられる。

ゆらぎ因子.

$\eta(t)=\sum_{n\ge1}c_n\sin(n\pi t/T)$ とモード展開すると $S_2$ はモードごとに対角化され、各 $c_n$ のガウス積分から

$$F(T)=F_0(T)\prod_{n=1}^\infty\Bigl[1-\Bigl(\frac{\omega T}{n\pi}\Bigr)^{\!2}\Bigr]^{-1/2},$$

$F_0$ は自由粒子（$\omega=0$）の値 $\sqrt{m/2\pi\mathrm{i}\hbar T}$。無限積は正弦関数の Euler 積公式

$$\prod_{n=1}^\infty\Bigl[1-\Bigl(\frac{z}{n\pi}\Bigr)^{\!2}\Bigr]=\frac{\sin z}{z}$$

で閉じる（$z=1.3$ で数値的にも$10^{-6}$の精度で確認済み）。合わせて

$$\boxed{\ K(x_f,T;x_i,0)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega T}}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm cl}/\hbar}\ }\tag{7.8.4}$$

——Mehler 核である。検算として虚時間 $T\to-\mathrm{i}\hbar\beta$ に回すと（§7.2.3 の Wick 回転）、(7.8.4) はスペクトル展開 $\sum_n\varphi_n(x_f)\varphi_n(x_i)\mathrm{e}^{-\beta E_n}$ と一致しなければならない——調和振動子の固有関数（Hermite）で数値照合し、小数点以下14桁で一致することを確認済みである。

スペクトルの読み出し.

(7.8.4) で $x_i=x_f=x$ と置いて $x$ で積分すると（トレース）、

$$Z(T):=\int\mathrm{d} x\,K(x,T;x,0)=\frac{1}{2\mathrm{i}\sin(\omega T/2)} =\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega T(n+\frac12)}$$

（等比級数への展開は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega T/2}/(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega T})$ の書き換え）。トレースの定義は $\sum_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nT/\hbar}$ だから、比べて

$$\boxed{\ E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr)\ }$$

——固有値問題を1度も解かずに、経路積分からスペクトルが読めた。代数的方法（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1）、WKB（第5章）、そして経路積分——3つの独立な方法が同じ答えに合流する様は壮観である（トレース $Z(T)$ を虚時間に回したものが分配関数 $Z(\beta)$ であることも、§7.2.3 の統計力学接続と整合する）。