停留位相と WKB：この部の環を閉じる

量子力学入門　第7部 第8章 §7.8.4　★★ 経路積分と WKB のつながり（発展だが核心）

一般の $V$ では (7.8.1) は厳密に閉じないが、$\hbar\to0$ の停留位相近似が使える：積分は $\delta S=0$ の古典経路の近傍が支配し、2次のゆらぎまで拾うと

$$K\ \simeq\ \sqrt{\frac{1}{2\pi\mathrm{i}\hbar}\Bigl|\frac{\partial^2S_{\rm cl}}{\partial x_i\partial x_f}\Bigr|}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm cl}(x_f,x_i;T)/\hbar}$$

（van Vleck の公式；自由粒子と調和振動子ではこれが厳密になる——作用が2次だからで、調和振動子で WKB が厳密だった第5章の事実の経路積分側の顔である）。位相は Hamilton の主関数 $S_{\rm cl}$（§7.2.6）、振幅は $\partial^2S_{\rm cl}/\partial x_i\partial x_f=-\partial p_i/\partial x_f$——「終点を動かしたとき始運動量がどれだけ変わるか」＝古典軌道の束の広がり具合であり、WKB の $1/\sqrt p$（流れの保存）の多次元版にあたる。エネルギー表示に Fourier 変換（停留位相＝§7.2.3 の Legendre 変換 $S\to W-Et$…の逆）すれば、第3章の WKB 波動関数 $\frac{1}{\sqrt p}\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\int p\,\mathrm{d} x/\hbar}$ がそのまま回収される。