二つの描像：Schrödinger と Heisenberg

量子力学入門　第8部 第0章 §8.0.3　★★★ Heisenberg 描像（スピンの回転の記述に使う）。

出発点：観測されるのは期待値（と確率）だけ

★★　観測されるのは期待値と確率だけ。

描像の話が分かりにくいのは、「状態が動く」「演算子が動く」という言葉が何の記述の話なのかが曖昧なまま進むからだ。原点に立ち返ろう。実験で得られるのは測定値の統計、すなわち確率と期待値だけである。時刻 $t$ での観測量 $\hat A$ の期待値を、時間発展演算子 $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ で書くと

$$\langle \hat A \rangle (t)=\langle \psi(t) | \hat A | \psi(t) \rangle =\langle \psi(0) | \,\hat U^\dagger(t)\,\hat A\,\hat U(t)\, | \psi(0) \rangle .$$

真ん中の式は「動く状態 $| \psi(t) \rangle$ に固定した $\hat A$ を挟む」と読める。右の式は「固定した状態 $| \psi(0) \rangle$ に動く演算子 $\hat U^\dagger\hat A\hat U$ を挟む」と読める。同じ数を二通りに読んだだけ——時間依存性という「荷物」を状態に背負わせるか演算子に背負わせるか、その簿記の流儀が描像である。

古典力学との対応が腑に落ちる近道だ。古典力学では「粒子の位置 $x(t)$ が時間の関数として動く」と考える——Heisenberg 描像はこれの量子版で、演算子 $\hat x_H(t)$ が古典軌道 $x(t)$ に対応する。一方 Schrödinger 描像では、時間変化を担うのは確率の雲 $\psi(x,t)$ で、物差しの目盛りにあたる演算子 $\hat x$ は固定されている。

何が動いて何が動かないか（誤解の潰し方）

★★　描像間の誤解を潰す。

最大の誤解ポイントを先に潰す。「Schrödinger 描像では演算子が固定」と言っても、期待値 $\langle \hat x \rangle (t)$ はもちろん動く。雲 $\psi(x,t)$ が動けば $\langle \hat x \rangle (t)=\int x|\psi(x,t)|^2\mathrm{d} x$ は当然動く。固定なのは演算子 $\hat x$ そのものであって、読み取り値ではない。両描像で違うのは「裏方として動かしているのが雲（状態）か目盛り（演算子）か」だけで、読み取り値（期待値）は同一である。

「動く／動かない」を口にするときは必ず主語を明示すること。期待値は常に動き、描像に依らず一致する。

Heisenberg の運動方程式

★★★　$\dot A=[A,\hat H]/\mathrm{i}\hbar$。演算子の時間発展。

Heisenberg 描像の演算子はどんな方程式に従うか。$\hat A_H=\hat U^\dagger\hat A\hat U$ を微分する。$\dot{\hat U}=-\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat H\hat U$、$\dot{\hat U}^\dagger=+\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat U^\dagger\hat H$ を使うと（$\hat A$ 自身が時間を含まない場合）

$$\frac{\mathrm{d}\hat A_H}{\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat U^\dagger\hat H\hat A\hat U-\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat U^\dagger\hat A\hat H\hat U =\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat U^\dagger\left[\hat H,\,\hat A\right]\hat U =\boxed{\ \frac{\mathrm{i}}\hbar\left[\hat H,\,\hat A_H\right]\ }$$

（最後は $\hat H$ が $\hat U$ と可換なので $\hat U^\dagger\left[\hat H,\,\hat A\right]\hat U=\left[\hat H,\,\hat A_H\right]$。）これがHeisenberg の運動方程式。$\hat A$ があらわに時間を含む場合（例：外場 $\cos\omega t$ が定義に入っている）は右辺に $(\partial\hat A/\partial t)_H$ が加わる。古典力学の正準方程式 $\dot A=\{A,H\}_{\rm PB}$（Poisson 括弧）と見比べると、対応 $\{\cdot,\cdot\}_{\rm PB}\leftrightarrow\frac1{\mathrm{i}\hbar}\left[\cdot,\,\cdot\right]$ が読み取れる——交換子は Poisson 括弧の量子版である。

重要な即座の帰結：$\left[\hat H,\,\hat A\right]=0$ なら $\hat A_H$ は時間に依らず、$\hat A$ は保存量。「対称性・保存量」の議論が Heisenberg 描像で見通しよくなる理由がこれだ。

Ehrenfest の定理：古典への橋

★★　古典力学への橋。

Heisenberg 方程式の期待値をとると（あるいは Schrödinger 描像で直接計算しても同じ）、

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\frac{\mathrm{i}}\hbar\langle \left[\hat H,\,\hat A\right] \rangle .$$

$\hat H=\hat p^2/2M+V(\hat x)$ に適用すると $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat x \rangle =\langle \hat p \rangle /M$、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat x) \rangle$——期待値は（ほぼ）Newton 方程式に従う（Ehrenfest の定理）。「ほぼ」なのは右辺が $-V'(\langle \hat x \rangle )$ でなく $-\langle V'(\hat x) \rangle$ である点で、波束が広くポテンシャルが非線形だと両者はずれ、量子効果が顔を出す。

どの描像をいつ使うか

★　描像の使い分けの指針。