相互作用描像

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.1　★★★ 相互作用描像＝時間依存摂動の舞台。

時間に依存しない摂動論（第6部『摂動論と変分法』、および第9部『同種粒子と第二量子化』第0章の復習節）は、Hamiltonian が時間に依らない場合に定常状態の補正を求めるものだった。本章では摂動が時間に依存する場合を扱う。問うのは「時刻 $t_0$ である状態にあった系が、時刻 $t$ に別の状態へ遷移している確率」——すなわちダイナミクスである。外力で揺すられた調和振動子、振動磁場中のスピン（磁気共鳴）、そしてゆっくり変化する場の中での断熱発展と Berry 位相までを、例題を通して辿る。第0章の描像の議論がそのまま生き、最後には幾何学的位相という新しい主題が現れる。

第0章で Schrödinger 描像（状態が動く）と Heisenberg 描像（演算子が動く）を学んだ。時間依存摂動論には、その中間にあたる第三の描像が便利だ。Hamiltonian を $\hat H(t)=\hat H_0+\hat V(t)$ と可解部分と摂動に分け、$\hat H_0$ による自明な時間発展だけを演算子に背負わせ、摂動 $\hat V$ による「本質的な」発展だけを状態に残す——これが相互作用描像（interaction picture、朝永–Dirac 描像）である。

導出を一段ずつ追う。相互作用描像の状態の定義 $| \psi^I(t) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi(t) \rangle$ を時間微分すると、積の微分で2項出る：

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi^I \rangle =\underbrace{\mathrm{i}\hbar\Bigl(\tfrac{\mathrm{i}\hat H_0}{\hbar}\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi \rangle }_{\text{指数を微分}} +\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\bigl(\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi \rangle \bigr)}_{\text{状態を微分}}.$$

第1項は $\mathrm{i}\hbar\cdot\tfrac{\mathrm{i}\hat H_0}{\hbar}=-\hat H_0$ より $-\hat H_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi \rangle$。第2項の $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi \rangle$ には、もとの（Schrödinger 描像の）方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi \rangle =(\hat H_0+\hat V)| \psi \rangle$ を代入する。まとめると

$$\begin{aligned}\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi^I \rangle &=-\hat H_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}(\hat H_0+\hat V)| \psi \rangle \\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\bigl(-\hat H_0+\hat H_0+\hat V\bigr)| \psi \rangle &&(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\text{ と }\hat H_0\text{ は可換なので左へ通す})\\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\,\hat V\,| \psi \rangle .\end{aligned}$$

最後に、右辺に「$\hat 1=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$」を挟んで相互作用描像の量に組み替える：

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\hat V| \psi \rangle =\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\hat V\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}}_{=\ \hat V^I(t)}\;\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi \rangle }_{=\ | \psi^I \rangle } =\hat V^I(t)| \psi^I \rangle .$$

これで $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi^I \rangle =\hat V^I| \psi^I \rangle$ が示された。要点は、第1項（指数の微分）が Schrödinger 方程式の $\hat H_0$ 項をちょうど打ち消し、$\hat H_0$ による自明な発展が消えて摂動 $\hat V^I$ だけが残ること。実際 $\hat V=0$ なら右辺が零で $| \psi^I \rangle$ は止まる（自明な位相回転は定義の $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$ がすでに吸収済み）。三描像を一言で対比すると、Schrödinger 描像は状態が $\hat H$ 全体で動き、Heisenberg 描像は演算子が $\hat H$ 全体で動き、相互作用描像はその中間で、演算子は $\hat H_0$ で・状態は $\hat V$ で動く。