時間に依存する摂動論の一般式

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.2　★★★ 一次遷移振幅 $c_n(t)$。

相互作用描像の方程式を、無摂動固有状態 $\hat H_0| \phi_n^{(0)} \rangle =E_n^{(0)}| \phi_n^{(0)} \rangle$ で展開する。Schrödinger 描像の状態を

$$| \psi(t) \rangle =\sum_n c_n(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n^{(0)}t/\hbar}| \phi_n^{(0)} \rangle$$

と書く（各項の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n^{(0)}t/\hbar}$ は無摂動の自明な位相）。係数 $c_n(t)$ が時間依存性の本質を担い、$c_n(t)=\langle \phi_n^{(0)} | \psi^I(t) \rangle$ に等しい。相互作用描像の方程式に代入し $\langle \phi_n^{(0)} |$ を掛けると

$$\mathrm{i}\hbar\dot c_n(t)=\sum_m V^I_{nm}(t)\,c_m(t),\qquad V^I_{nm}(t)\equiv\langle \phi_n^{(0)} | \hat V^I(t) | \phi_m^{(0)} \rangle =\langle \phi_n^{(0)} | \hat V(t) | \phi_m^{(0)} \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})t/\hbar}$$

を得る。記号を明確にしておく：肩の $I$ は相互作用描像（Interaction picture）の目印で、$V^I_{nm}$ は「素の行列要素 $V_{nm}(t)=\langle \phi_n^{(0)} | \hat V(t) | \phi_m^{(0)} \rangle$ に Bohr 振動数の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}$（$\omega_{nm}=(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})/\hbar$）を掛け終わったあとの行列要素」である（左右の $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$ が固有状態に当たって位相になった）。物理的には、外場の時間依存と準位の自然な位相回転を合成した「遷移を実際に駆動する実効的な揺さぶり」で、両者が釣り合って $V^I_{nm}$ の位相がほぼ止まるときが共鳴である。Heisenberg 描像の添字 $H$（$\hat H$ 全体で回した演算子）と対にして、$I$ は「$\hat H_0$ だけで回した演算子」と覚えるとよい。さて、上の方程式は厳密だがまだ解けていない（$c_n$ が右辺にも現れる）。摂動論は、これを積分方程式 $c_n(t)=c_n(t_0)-\frac{\mathrm{i}}\hbar\sum_m\int_{t_0}^t V^I_{nm}(t_1)c_m(t_1)\mathrm{d} t_1$ にして逐次代入（反復）する：

補足：時間順序積による閉じた表式。

Dyson 級数は時間順序積（time-ordered product）$T$ を使うと一行に畳める。二つの演算子に対し

$$T\bigl[\hat V^I(t_1)\hat V^I(t_2)\bigr]\equiv \begin{cases}\hat V^I(t_1)\hat V^I(t_2) & (t_1\ge t_2)\\ \hat V^I(t_2)\hat V^I(t_1) & (t_2\ge t_1)\end{cases}$$

——「遅い時刻ほど左に並べ直す」操作と定義する（$k$ 個でも同様）。$k$ 次の項の積分領域は単体 $t\ge t_1\ge\cdots\ge t_k\ge t_0$ だが、$T$ の中でなら $k$ 個の積分変数を独立に $[t_0,t]$ 全体で走らせてよい：立方体 $[t_0,t]^k$ は変数の大小関係で $k!$ 個の単体に分割でき、$T$ がどの単体でも同じ値を与えるから、全体を $k!$ で割れば単体1個分に一致する。よって

$$\boxed{\ \hat U^I(t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\,T\Bigl[\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_0}^t\hat V^I(t')\,\mathrm{d} t'\Bigr)^{\!k}\,\Bigr] =T\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_0}^t\hat V^I(t')\,\mathrm{d} t'\Bigr)\ }$$

$\hat V^I$ が時間に依らない場合や異なる時刻どうしで可換な場合は $T$ が外れ、ただの指数関数（1次元なら $\exp(-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int V^I\mathrm{d} t')$）に退化する。$T\exp$ は非可換な生成子をもつ時間発展の最も一般的な形式解であり、場の量子論の摂動展開はこの式から出発する。

これが1次の遷移振幅の公式である。ただし抽象的なままでは手が動かないので、実戦で毎回なぞる手順を定石として固めておく。その前に、1次の遷移振幅 $c_f^{(1)}$ がなぜあの積分の形になるのかを一段ずつ確かめる。

出発点は、前節で導いた厳密な係数の方程式

$$\mathrm{i}\hbar\,\dot c_n(t)=\sum_m V^I_{nm}(t)\,c_m(t)$$

である。これはまだ近似を含まない（$c_n$ が右辺にも現れるので閉じていない）。ここで摂動論の発想を入れる：$\hat V$ が小さければ、係数は初期値からほとんど動かない。始状態 $| i \rangle$ から出発した（$c_m(0)=\delta_{mi}$）とし、右辺の $c_m(t)$ をゼロ次の値 $c_m(0)=\delta_{mi}$ で近似する（これが「1次」の意味——右辺を初期値で置き換える）。すると終状態 $f\neq i$ の成分について、和が $m=i$ の一項だけに潰れて

$$\mathrm{i}\hbar\,\dot c_f^{(1)}(t)=\sum_m V^I_{fm}(t)\,\underbrace{c_m(0)}_{\delta_{mi}}=V^I_{fi}(t).$$

右辺が既知の関数（$\hat H_0$ の固有状態で挟んだ行列要素）になったので、あとは時間で積分するだけ。$c_f^{(1)}(0)=0$（最初は $| f \rangle$ にいない）を初期条件として

$$c_f^{(1)}(t)=\frac1{\mathrm{i}\hbar}\int_0^t V^I_{fi}(t_1)\,\mathrm{d} t_1 =-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^t V^I_{fi}(t_1)\,\mathrm{d} t_1 .$$

最後に $V^I_{fi}(t_1)=\langle f | \hat V(t_1) | i \rangle \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t_1}$（前節の相互作用描像の行列要素、$\omega_{fi}=(E_f^{(0)}-E_i^{(0)})/\hbar$）を代入すれば、定石ボックスの公式そのものになる。

要点は三つ。(i) 「1次」とは、厳密な連立方程式の右辺に現れる $c_m$ を無摂動の初期値で置き換えることに尽きる（次数を上げるとは、右辺に1次の $c_m^{(1)}$ を入れて2次を作る、という反復である——これが前節の Dyson 級数）。(ii) その置き換えで右辺が既知関数になるから、微分方程式がただの積分に化ける。(iii) 積分の中身に現れる位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t_1}$ こそが、遷移が起こるかどうかを決める（外場の振動と釣り合えば積分が大きく育ち、ずれれば激しく振動して打ち消し合う——次項の共鳴）。

Step 2 の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t}$ は何者か. 定石の心臓は Step 2 で掛ける Bohr 振動数の位相なので、その素性を押さえておく。この位相は、相互作用描像に移る操作から機械的に生じる。§1.2 で状態を $| \psi(t) \rangle =\sum_n c_n(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n^{(0)}t/\hbar}| \phi_n^{(0)} \rangle$ と、各準位の自然な位相回転 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n^{(0)}t/\hbar}$ を分離して書いた（定常状態は $E/\hbar$ の速さで位相が回る、という§8.0.2）。遷移振幅の方程式を作ると、$V^I_{fi}$ には終状態のブラから $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_f^{(0)}t/\hbar}$、始状態のケットから $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_i^{(0)}t/\hbar}$ が出て掛かり、

$$\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_f^{(0)}t/\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_i^{(0)}t/\hbar}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_f^{(0)}-E_i^{(0)})t/\hbar}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t}$$

となる。すなわち $\omega_{fi}$ は始・終状態の位相回転の速さの差——二準位が別々の速さ $E_f^{(0)}/\hbar,\ E_i^{(0)}/\hbar$ で回るときのうなり（ビート）の振動数である（§8.0.2の2準位ビート $\cos\frac{(E_1-E_0)t}{2\hbar}$ と同じもの）。名前は Bohr の振動数条件 $\hbar\omega_{\text{光}}=|E_f-E_i|$（遷移で放出・吸収される光の振動数）に由来する。

時間に依存しない摂動論との関係. ここが要である。時間非依存摂動論が決める静的な準位差 $E_f^{(0)}-E_i^{(0)}$ が、時間依存摂動論では遷移振動数 $\omega_{fi}$ という時間の言葉に翻訳される。両者の役割分担は明快だ——時間非依存摂動論は系のスペクトル（準位そのもの）を決め、時間依存摂動論はその準位間の遷移を記述する。そして $\omega_{fi}$ が両者をつなぐ蝶番になる。実際 Step 3 の積分 $\int V_{fi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{fi}t_1}\mathrm{d} t_1$ で、外場が振動数 $\omega$ で揺さぶると位相は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{fi}\mp\omega)t_1}$ となり（次項の離調 $\Delta$）、外場を静的な準位差に合わせた $\hbar\omega=|E_f^{(0)}-E_i^{(0)}|$ のとき積分が打ち消し合わずに大きく育つ——これが共鳴である。静的なスペクトル（時間非依存が与える準位）が、動的な遷移（時間依存が与える確率）を通じて観測されるという構図で、後述の Rabi の共鳴条件 $\hbar\omega=2\mu_B B_0=E_+-E_-$ もその一例にほかならない。

Step 3 で最もよく現れるのが単色摂動——行列要素が単一振動数で回る $\langle f | \hat V(t) | i \rangle =v\,\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}\omega t}$ の場合——である。このとき $V^I_{fi}(t)=v\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t}$、ただし

$$\Delta\equiv\omega_{fi}\mp\omega\qquad(\textbf{離調}\text{：駆動振動数と準位間隔のずれ})$$

となり、Step 3 の積分は初等的に実行できる：

$$\int_0^t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t_1}\mathrm{d} t_1=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t}-1}{\mathrm{i}\Delta} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t/2}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta t/2}}{\mathrm{i}\Delta} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t/2}\,\frac{2\sin(\Delta t/2)}{\Delta}.$$

（2番目の等号で $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t/2}$ をくくり出して指数の差を $\sin$ に畳むのが定石の変形。）先頭の位相因子は絶対値で消えるので、

$$\boxed{\ P_{i\to f}(t)=\frac{4|v|^2}{\hbar^2\Delta^2}\,\sin^2\frac{\Delta t}{2}\ }$$

という単色摂動の万能公式に到達する。読み方：時刻 $t$ を固定して $\Delta$ の関数と見ると、共鳴 $\Delta=0$ に高さ $|v|^2t^2/\hbar^2$ の鋭いピークをもち、その幅は $\sim2\pi/t$。時間 $t$ の観測はエネルギー差を $\hbar/t$ 程度までしか分解できないという、エネルギーと時間の不確定性の現れである。有効条件は摂動論の大前提 $|c^{(1)}|\ll1$：離調が大きければ $|v|\ll\hbar|\Delta|$ でいつまでも成立するが、共鳴上では $t\ll\hbar/|v|$ の短時間に限られる（この破れ方は磁気共鳴の例で厳密解と突き合わせて精密に見る）。

以下の例題で、この定石を「厳密に解ける模型」に適用し、摂動論の各次数が厳密解のどの部分を再現するかを確かめる。