強制振動子

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.3　★★ 手法の代表例。厳密解と摂動の一致を確認。

外力で揺すられた調和振動子

$$\hat H_0=\frac{\hat p^2}{2M}+\frac{M\omega^2}{2}\hat x^2,\qquad \hat V(t)=-f(t)\hat x\quad(f^*=f)$$

を考える。この模型は厳密に解けるうえ、摂動論の結果と一比一で比較できる稀有な例で、しかも結果が美しい（Poisson 分布・コヒーレント状態）。

相互作用描像の摂動

★★　1次遷移確率の計算。

厳密解

★★　強制振動子の厳密解の準備。

$\hat V^I$ が $\hat a,\hat a^\dagger$ の1次（線形）であることが決定的だ。線形な生成子の指数は変位演算子（コヒーレント状態を作る演算子）になり、方程式が厳密に積分できる。

厳密な遷移確率

★★　Poisson 型の遷移確率。

結果は物理的に深い。外力を受けた基底状態は、$\hat a$ の固有状態＝コヒーレント状態 $| \mathrm{i} F \rangle$ に遷移する。コヒーレント状態のフォトン数（量子数）分布が Poisson になるのは、レーザー光の統計と同じ普遍的な事実だ。「古典的な外力」が量子的な振動子をコヒーレント状態に励起する、という描像である。

摂動論との比較

★★　摂動 $\Leftrightarrow$ 厳密の一致確認。