Fermi の黄金律：連続スペクトルへの遷移

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.5　★★★ 黄金律。連続スペクトルへの遷移。

ここまでの遷移先はすべて離散準位だった。しかし現実の実験——光電効果で電子が連続的な自由状態へ飛び出す、励起原子が光を放って崩壊する、粒子が散乱される——では、終状態がほぼ連続に分布している。このとき長時間極限で意味をもつのは「時刻 $t$ での確率」ではなく単位時間あたりの遷移レートであり、それを与えるのが Fermi の黄金律（golden rule）である。時間依存摂動論の最重要の応用がここにある。

一定値摂動と $\delta$ 関数の出現

★★★　$\delta(E)$ の出現＝エネルギー保存。

摂動が $t=0$ で突然オンされ以後一定（$\hat V(t)=\hat V$、$t\ge0$）の場合、§1.2 の Point「時間依存摂動論と時間非依存摂動論の関係」で求めた1次振幅から、$f\neq i$ への遷移確率は万能公式の $\omega=0$ 版

$$P_{i\to f}(t)=\frac{4|V_{fi}|^2}{\hbar^2\omega_{fi}^2}\sin^2\frac{\omega_{fi}t}{2} =\frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\,f\Bigl(\frac{\omega_{fi}}{2},\,t\Bigr),\qquad f(\alpha,t)\equiv\Bigl(\frac{\sin\alpha t}{\alpha}\Bigr)^{\!2}$$

となる。関数 $f(\alpha,t)$ を $\alpha$ の関数として眺めるのが要点だ：$\alpha=0$ に高さ $t^2$ のピークをもち、幅は $\sim\pi/t$、そして面積は

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\alpha,t)\,\mathrm{d}\alpha =t\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\frac{\sin y}{y}\Bigr)^{\!2}\mathrm{d} y=\pi t$$

（$y=\alpha t$ と置換；$\int(\sin y/y)^2\mathrm{d} y=\pi$ は記号計算で確認済み）。高さが $t^2$ で伸び、幅が $1/t$ で狭まり、面積が $t$ に比例して増える——これはまさに $\delta$ 関数へ収束する族であり、

$$\boxed{\ f(\alpha,t)\ \longrightarrow\ \pi t\,\delta(\alpha)\qquad(t\to\infty)\ }$$

と書ける。ピークの幅 $|\omega_{fi}|\lesssim\pi/t$ は「時間 $t$ の観測はエネルギーを $\Delta E\sim\hbar/t$ までしか分解できない」（§1.2 で見たエネルギー・時間の不確定性）の再現で、$t\to\infty$ でエネルギー保存 $E_f=E_i$ が厳密化していく、と読める。

遷移レートと黄金律

★★★　$w=(2\pi/\hbar)|V|^2\rho(E)$。

$\delta$ 関数極限を確率の式に入れると、$\delta(\alpha)=\delta(\omega_{fi}/2)=2\delta(\omega_{fi})=2\hbar\,\delta(E_f^{(0)}-E_i^{(0)})$ に注意して

$$P_{i\to f}(t)\ \longrightarrow\ \frac{2\pi t}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\,\delta(E_f^{(0)}-E_i^{(0)})$$

——確率が時間に比例して増える。よって「単位時間あたりの遷移レート」が時間によらぬ定数として定義でき、

$$\boxed{\ w_{i\to f}=\frac{P_{i\to f}}{t}=\frac{2\pi}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\,\delta(E_f^{(0)}-E_i^{(0)})\ }$$

これが Fermi の黄金律である。$\delta$ 関数は単独の離散準位では意味をもたず、連続に分布した終状態について足し上げて（積分して）初めて有限の数を返す。終状態のエネルギー分布を状態密度 $\rho(E)$（$E$ と $E+\mathrm{d} E$ の間の状態数が $\rho(E)\,\mathrm{d} E$）で表して積分すると

$$w_{i\to\text{（近傍の連続状態）}}=\int\mathrm{d} E_f\,\rho(E_f)\,\frac{2\pi}{\hbar}\overline{|V_{fi}|^2}\,\delta(E_f-E_i) =\boxed{\ \frac{2\pi}{\hbar}\,\overline{|V_{fi}|^2}\,\rho(E_i)\ }$$

（$\overline{|V_{fi}|^2}$ は同じエネルギーの終状態にわたる平均）。レート＝結合の強さ $|V|^2$ × 行き先の多さ $\rho$という因数分解が黄金律の読み方のすべてである：選択則・偏光依存性などの「物理の個性」は行列要素に、運動学・次元性は状態密度に入る。

周期的摂動：吸収と誘導放出

★★　吸収・誘導放出。

光を当てる状況を表す単色の周期摂動

$$\hat V(t)=\hat F\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\hat F^\dagger\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\qquad(\omega>0)$$

に黄金律を拡張する（$\hat F$ はエルミートでなくてよい；電磁波と電子の相互作用 $\frac{1}{2m}(\hat{\bm{p}}+e\hat{\bm{A}})^2$ は単色光では実際この形に書ける——極小結合は第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の第1章）。1次振幅は §1.2 の定石どおり

$$c_f^{(1)}(t)=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_0^t\Bigl[F_{fi}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{fi}-\omega)t_1}+ (F^\dagger)_{fi}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{fi}+\omega)t_1}\Bigr]\mathrm{d} t_1$$

と2項に分かれ、$|c_f^{(1)}|^2$ には各項の2乗と交差項が現れる。$t\to\infty$ で $\delta$ 関数に育つのは位相が止まれる2項の2乗だけで（交差項は $\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i}\omega t}$ で回り続けて平均が消える）、共鳴条件ごとに分離したレートを得る：

$$\boxed{\ w^{(\rm a)}_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\,|F_{fi}|^2\,\delta(E_f^{(0)}-E_i^{(0)}-\hbar\omega),\qquad w^{(\rm e)}_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\,|(F^\dagger)_{fi}|^2\,\delta(E_f^{(0)}-E_i^{(0)}+\hbar\omega)\ }$$

第1式は $E_f=E_i+\hbar\omega$——外場からエネルギー $\hbar\omega$ をもらう吸収、第2式は $E_f=E_i-\hbar\omega$——外場へ返す誘導放出である。$(F^\dagger)_{fi}=(F_{if})^*$ より、準位対 $n\leftrightarrow k$ の上りと下りのレートは等しい（$w^{(\rm a)}_{n\to k}=w^{(\rm e)}_{k\to n}$）。この対称性（詳細つり合い）が、反転分布さえ作れば光が増幅される——レーザーの原理——を保証する。なお、外場を古典場として扱うこの計算に自然放出は現れない（誰も揺すっていないのに光る過程には電磁場自体の量子化が要る）。

応用：光電効果の（半古典的）レート

★★　光電効果。

黄金律の使い方の実演として、金属（あるいは原子）中の束縛電子が単色光で連続状態へ叩き出される光電効果を扱う。初期状態はエネルギー $E_0$（$<0$）の束縛状態 $| 0 \rangle$、終状態は運動量 $\hbar\bm{k}$ の自由電子 $| \bm{k} \rangle$（$E=\hbar^2\bm{k}^2/2m$）、摂動は上の単色型で吸収項だけが効くとする。