断熱近似と Berry 位相

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.6　★ ◆断熱定理・Berry 位相。発展。

最後に、Hamiltonian がゆっくり時間変化する場合を考える。系が瞬間固有状態に「貼りついて」発展する断熱近似と、そこに現れる幾何学的位相＝Berry 位相を導く。Berry 位相は磁気単極子の場と数学的に同一の構造を持ち、幾何学とダイナミクスがここで結ばれる。

一般式の導出

★　断熱一般式。

各時刻で $\hat H(t)| \phi_n(t) \rangle =E_n(t)| \phi_n(t) \rangle$ と瞬間固有状態が求まっているとし、解を

$$| \psi(t) \rangle =\sum_n b_n(t)\,\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^t E_n(t')\mathrm{d} t'}| \phi_n(t) \rangle$$

と展開する（指数因子は力学的位相）。

断熱近似とは、$\hat H(t)$ の変化が十分ゆっくりで、右辺第2項（準位間の混合）を無視できるとする近似である。このとき $|b_n(t)|\simeq|b_n(0)|$ で系は瞬間固有状態に貼りつき、各準位は力学的位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_n}$ に加えて幾何学的位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n}$ だけを獲得する。この $\gamma_n$ がBerry 位相である。

回転磁場中のスピン

★　回転磁場の断熱追従。

Berry 位相のゲージ不変性と幾何学

★　Berry 位相の幾何。

Berry 位相を、Hamiltonian をパラメータ（ここでは磁場 $\bm{B}$）の関数とみなして書き直す。$\dot\gamma_n$ の積分は $\bm{B}$ 空間の線積分になり、

$$\gamma_n(T)-\gamma_n(0)=\oint_C\bm{A}_n(\bm{B})\cdot\mathrm{d}\bm{B},\qquad \bm{A}_n(\bm{B})=\mathrm{i}\langle \phi_n(\bm{B}) | \nabla_{\bm{B}}\phi_n(\bm{B}) \rangle$$

と表せる（$\bm{A}_n$ をBerry 接続という）。$C$ は $\bm{B}(t)$ が $t=0\to T$ で描く閉曲線。

これは電磁気学のゲージ不変性そのものである。Berry 接続 $\bm{A}_n$ は電磁気のベクトルポテンシャル、$\chi$ はゲージ関数、そして「物理的に意味があるのは局所的な接続でなく閉曲線が囲む量（Berry 位相＝磁束）」——Aharonov–Bohm 効果と完全に同じ論理だ。