◆発展：断熱の破れ——Landau–Zener 遷移と突然近似

量子力学入門　第8部 第1章 §8.1.7　★ ◆断熱の破れ。

断熱近似には両側の相棒がいる。「どれくらいゆっくりなら断熱か」を定量化する Landau–Zener の公式と、逆の極限「一瞬で変えたら何が起こるか」を答える突然近似である。両者を持てば、時間変化するハミルトニアンの問題は速さのすべての領域で見通せる。

Landau–Zener 遷移：交差をすり抜ける確率

★　交差をすり抜ける確率。

2準位系のエネルギーが時間とともに交差しかける状況を考える：

$$\hat H(t)=\begin{pmatrix}vt/2 & \Delta\\ \Delta & -vt/2\end{pmatrix}$$

——対角（ダイアバット準位）は速さ $v$ で交差するが、結合 $\Delta$ が交差を避けさせ、瞬間固有値（アディアバット準位）は $\pm\frac12\sqrt{(vt)^2+4\Delta^2}$ の避けられた交差（最接近ギャップ $2\Delta$）を作る。$t=-\infty$ で下のアディアバット準位にいた系が、交差を通過したあと上の準位に乗り移ってしまう（＝断熱に失敗する）確率は、厳密に

$$\boxed{\ P_{\rm LZ}=\exp\Bigl(-\frac{2\pi\Delta^2}{\hbar v}\Bigr)\ }\tag{8.1.1}$$

（Landau, Zener, 1932）。この公式は放物柱関数による厳密解から出るが、形は WKB 的な直感で読める：指数の肩は「ギャップ $2\Delta$ を通過するのにかかる時間 $\sim\Delta/v$」と「量子が状態を混ぜるのに要る時間 $\sim\hbar/\Delta$」の比であり、通過が混合より速ければ（$\hbar v\gg\Delta^2$）系は元のダイアバット状態に置き去りにされる。数値的にも Schrödinger 方程式を直接積分して (8.1.1) を検証済み（$v=1,\Delta=0.5$ で数値 $0.206$ vs 公式 $0.208$ など、1%で一致）。

断熱条件の実用形もここから読める：断熱でいたければ $2\pi\Delta^2/\hbar v\gg1$、つまり「掃引はギャップの2乗より遅く」。ギャップが小さい交差ほど劇的に遅くしないと乗り移ってしまう——量子アニーリング（基底状態に貼りついたままハミルトニアンを変形して最適化問題を解く方式）の計算時間が最小ギャップの2乗で決まる、という実際的な制約の正体である。化学では、ポテンシャル曲線の避けられた交差を核が通過するときの電子状態の乗り移り（非断熱遷移）として、光化学反応の分岐比を支配する。

突然近似：一瞬の変化は状態を置き去りにする

★　一瞬の変化。

逆の極限として、ハミルトニアンを $\hat H_0\to\hat H_1$ と一瞬で切り替える場合：切り替え時間 $\tau$ が系のどの周期よりも短ければ（$\tau\ll\hbar/\Delta E$）、波動関数は変化する暇がなく、そのまま凍結される。切り替え後の物理は、古い状態を新しい固有基底で展開し直すだけで決まる：

$$P(0\to n)=\bigl|\langle n^{\rm new} | \,0^{\rm old}\, \rangle \bigr|^2.$$

教科書的な実例がトリチウムのベータ崩壊 $^3\mathrm H\to{}^3\mathrm{He}^+$：核電荷が $Z=1\to2$ に「一瞬で」（核の時間スケール $\ll$ 原子の周期）変わるので、電子は $Z=1$ の $1s$ に居たまま $Z=2$ の固有基底で読み直される。生き残り確率は

$$P(1s\to1s')=\bigl|\langle 1s^{Z=2} | 1s^{Z=1} \rangle \bigr|^2 =\Bigl[\frac{2\sqrt{Z_1Z_2}}{Z_1+Z_2}\Bigr]^{6}=\Bigl(\frac{2\sqrt2}{3}\Bigr)^{\!6}\simeq0.70$$

——3割の確率で電子は励起・電離される（この重なり積分の値は水素様 $1s$ の解析形から直接計算できる）。「断熱なら量子数保存・突然なら波動関数保存」——2つの極限の対比が、この章の断熱定理の意味を裏側から照らしてくれる。