スピン量子数 $s$ は何を表すか

量子力学入門　第9部 第0章 §9.0.1　★★ スピン量子数 $s$ の物理的意味。統計との接続。

本章は、この部の主題（同種粒子系と第二量子化）に入るための助走である。同種粒子の物理は「スピンが整数か半整数か」で粒子の統計が決まるところから始まるので、まずスピン量子数 $s$ が何を表すのかを押さえる（§0.1）。次に2つのスピンを合わせた合成系を作り、3重項が交換に対称・1重項が反対称であることを昇降演算子から導く（§0.2）——この表が第1章の主役になる。最後に、ヘリウム原子で電子間反発を評価するのに使う時間に依存しない摂動論を復習しておく（§0.3）。

→ 基礎の道具立て（測定の公理・不確定性関係・時間発展・調和振動子・描像・スピンと Bloch 球・テンソル積）の詳細は、正典である第1部『基礎の道具立て』を参照。本節はこの部を自己完結させるための最小限の要約である。

★★　スピン量子数 $s$ の物理的意味。

「自転の速さ」ではなく、回転に対する変換の型番。

素朴には「スピン＝粒子の自転」と思いたくなるが、点粒子である電子が文字どおり回っているわけではない（表面速度を古典的に見積もると光速を超える）。$s$ が本当に表すのは、状態が空間回転に対してどう変換するかという「型」である。回転演算子 $\hat R(\theta,\hat{\bm{n}})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\,\hat{\bm{n}}\cdot\hat{\bm{S}}/\hbar}$ を状態にかけると、$2s+1$ 個の成分 $| s,m \rangle$ が互いに混ざり合う。その混ざり方（回転行列 $=$ Wigner の $D$ 行列）が $s$ ごとに完全に決まっており、数学の言葉でいえば $s$ は回転群の既約表現のラベルである。$\hat S^2=\hbar^2s(s+1)$ はその表現を特徴づける不変量（Casimir 不変量）で、「角運動量の大きさ」と「回転変換の型番」が同じ $s$ で束ねられているのは、回転を生成するのが角運動量だからにほかならない。

半整数スピンは $2\pi$ 回転で符号が反転する。

この「型」の最も劇的な違いが、一回転の効き方に出る。$z$ 軸まわり $2\pi$ 回転を $| s,m \rangle$ にかけると

$$\hat R(2\pi,\hat{\bm{z}})| s,m \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi m}| s,m \rangle =(-1)^{2m}| s,m \rangle =\begin{cases}+| s,m \rangle &(s\ \text{整数})\\[2pt]-| s,m \rangle &(s\ \text{半整数})\end{cases}$$

（$2m$ の偶奇は $2s$ の偶奇に等しい）。半整数スピンは、空間を一周させても元に戻らず符号が反転する——このような対象をスピノルと呼ぶ。普通の矢印（ベクトル、$s=1$）が $2\pi$ で当然戻るのと本質的に違い、$s$ が「ただの矢印の長さ」でない何よりの証拠である（戻るには $4\pi$ 要る）。

スピンと統計：第1章への直結。

整数か半整数かの区別は、単なる数学的分類ではなく物質の構造を決める。スピン統計定理により、整数スピンの粒子はボゾン（波動関数が交換に対称）、半整数スピンの粒子はフェルミオン（反対称）である。電子が $s=\tfrac12$ のフェルミオンであること——これが Pauli 排他律を生み、原子の電子殻構造・周期表・物質の固さの根源になる。第1章の同種粒子系はまさにこの帰結を扱う。「$2\pi$ 回転の符号」と「交換の符号」が結びついているのは深い事実で、スピンという内部の型番が、二粒子を入れ替えたときの符号までも支配しているのである。

$s$ は粒子固有で不変。

スピン $s$ は質量や電荷と同じく粒子の種類ごとに固定された属性で、励起して変えることはできない（合成系の全スピン $S$ が状態により $1\oplus0$ と変わる§9.0.2のとは対照的）。実例：電子・陽子・中性子は $\tfrac12$、光子は $1$（ただし質量ゼロゆえヘリシティ2状態のみで $2s+1$ の数え方は特殊）、$\rho$ 中間子や重陽子は $1$、$\Delta$ バリオンや $^{23}$Na・$^{7}$Li の原子核は $\tfrac32$、重力子は $2$。

ベクトルの長さは $s\hbar$ でなく $\hbar\sqrt{s(s+1)}$。

期待値ベクトル $\langle \hat{\bm{S}} \rangle$ の大きさは最大でも $s\hbar$（$m=s$ のとき）だが、$\hat S^2$ の値は $\hbar^2s(s+1)>s^2\hbar^2$。$s=\tfrac32$ なら「長さ」$\hbar\sqrt{15}/2\approx1.94\hbar$ に対し最大射影は $1.5\hbar$。差額は横成分 $\hat S_x,\hat S_y$ の零点揺らぎ（$\left[\hat S_x,\,\hat S_y\right]\neq0$ による不確定性）で、スピンは決して一つの軸に完全整列できない。調和振動子が底に静止できず零点エネルギーをもつのと同種の、非可換性の帰結である。

$s\ge1$ では Bloch 球が使えない。

最後に重要な注意。$s=\tfrac12$ では純粋状態が球面 $S^2$ の1点と1対1対応した（Bloch 球）が、$s\ge1$ ではこの描像は成り立たない。$s=\tfrac32$ の純粋状態は複素4次元（規格化と全体位相を除いて実 $4s=6$ パラメータ）を動くのに対し、期待値ベクトル $\langle \hat{\bm{S}} \rangle$ はたった3成分——向きだけでは状態を指定しきれない。余った自由度は、四重極モーメント $\langle \hat S_i\hat S_j \rangle$ 以上の高次テンソル（「向き」に加えた「形」）に宿る。核磁気共鳴で $s\ge1$ の核が電場勾配と結合して四重極分裂を示すのは、この余分な自由度の物理的現れである。スピン $\tfrac12$ が例外的に「きれい」で球面1枚に収まるのは、2次元ゆえ任意のハミルトニアンが $\bm{b}\cdot\bm{\sigma}$ の形に尽き、状態が向きだけで決まるからだった、というわけである。なお、Bloch 球のパラメータ表示は「$| \uparrow \rangle$ を回転演算子で回した状態」として回転の側からも再導出できる——第4部『スピンと角運動量合成』の第1章で詳述している。