合成系：テンソル積とスピンの合成

量子力学入門　第9部 第0章 §9.0.2　★★★ スピンの合成。三重項・一重項（CG 係数）。

2つの系を合わせる：テンソル積

★★★　2系の合成＝テンソル積。

第2章では電子が2個登場する。複数の系を合わせた全体の状態空間はどう作るか——答えはテンソル積である。系1の基底 $\{| u_i \rangle \}$（次元 $d_1$）と系2の基底 $\{| v_j \rangle \}$（次元 $d_2$）から、ペア

$$| u_i \rangle \otimes| v_j \rangle \equiv| u_i\,v_j \rangle \qquad(d_1d_2\ \text{個})$$

を全体の基底とする空間を作る（次元は積 $d_1d_2$）。スピン $\tfrac12$ が2つなら $2\times2=4$ 次元で、基底は

$$| \uparrow\uparrow \rangle ,\quad| \uparrow\downarrow \rangle ,\quad| \downarrow\uparrow \rangle ,\quad| \downarrow\downarrow \rangle$$

（左が粒子1、右が粒子2）。系1の演算子は自分の因子だけに作用する：$\hat S_{1z}| \uparrow\downarrow \rangle =+\tfrac\hbar2| \uparrow\downarrow \rangle$、$\hat S_{2z}| \uparrow\downarrow \rangle =-\tfrac\hbar2| \uparrow\downarrow \rangle$。

重ね合わせの原理はこの4次元空間全体で成り立つから、$| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle$ のような、どちらの粒子の状態も単独では確定していない状態（もつれた状態）が必然的に存在する。これから作る1重項がまさにそれで、第2章の交換相互作用の主役になる。

全スピンという良い量子数

★★★　$\hat{\bm S}^2$ と $\hat S_z$ の同時固有状態。

2粒子の全スピンを $\hat{\bm{S}}=\hat{\bm{S}}_1+\hat{\bm{S}}_2$ と定義する。各成分は角運動量の交換関係を満たすので、$\hat S^2$ と $\hat S_z$ は可換で同時対角化でき、固有値を

$$\hat S^2| S,M \rangle =\hbar^2S(S+1)| S,M \rangle ,\qquad \hat S_z| S,M \rangle =\hbar M| S,M \rangle$$

とラベルできる（$M=-S,\dots,S$）。問題は：4次元空間は $(S,M)$ でどう分類されるか。答えを先に言えば $S=1$（3状態）と $S=0$（1状態）に分かれる——$4=3+1$。これを昇降演算子で完全に構成する。全スピンの昇降演算子は

$$\hat S_\pm=\hat S_x\pm\mathrm{i}\hat S_y=\hat S_{1\pm}+\hat S_{2\pm},\qquad \hat S_\pm| S,M \rangle =\hbar\sqrt{S(S+1)-M(M\pm1)}\,| S,M\pm1 \rangle$$

（2行目は、調和振動子の梯子を固定したのと同じ論法——ノルムの非負性と昇降演算子——を角運動量代数に適用して得られる一般公式。1粒子には $\hat S_{1-}| \uparrow \rangle =\hbar| \downarrow \rangle ,\ \hat S_{1-}| \downarrow \rangle =0$ として働く）。

昇降演算子による1重項・3重項の導出

★★★　$\hat S_\pm$ で三重項・一重項を構成（CG 係数）。

Step 1：てっぺんから出発。 $| \uparrow\uparrow \rangle$ は $M=\tfrac12+\tfrac12=1$ をもつ4次元空間で唯一の状態。$M=1$ が存在する以上 $S\ge1$、かつ2つのスピン $\tfrac12$ からは $M=2$ は作れないので $S=1$ が最大。ゆえに

$$| 1,1 \rangle =| \uparrow\uparrow \rangle .$$

Step 2：$\hat S_-$ で降りる。 左辺に一般公式、右辺に $\hat S_{1-}+\hat S_{2-}$ を作用させる：

$$\hat S_-| 1,1 \rangle =\hbar\sqrt{2}\,| 1,0 \rangle ,\qquad (\hat S_{1-}+\hat S_{2-})| \uparrow\uparrow \rangle =\hbar\bigl(| \downarrow\uparrow \rangle +| \uparrow\downarrow \rangle \bigr).$$

両者を等置して

$$\boxed{\ | 1,0 \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| \uparrow\downarrow \rangle +| \downarrow\uparrow \rangle \bigr)\ }$$

規格化係数 $\sqrt2$ が自動的に合っていることに注意（公式の $\sqrt{S(S+1)-M(M-1)}=\sqrt2$ と、右辺のノルム $\hbar\sqrt2$ が一致）。

Step 3：もう一度降りる。 $\hat S_-| 1,0 \rangle =\hbar\sqrt2| 1,-1 \rangle$ と$(\hat S_{1-}+\hat S_{2-})\tfrac{1}{\sqrt2}(| \uparrow\downarrow \rangle +| \downarrow\uparrow \rangle )=\tfrac{\hbar}{\sqrt2}\bigl(| \downarrow\downarrow \rangle +| \downarrow\downarrow \rangle \bigr)=\hbar\sqrt2\,| \downarrow\downarrow \rangle$ から

$$| 1,-1 \rangle =| \downarrow\downarrow \rangle .$$

（さらに $\hat S_-$ を掛けると零：梯子はここで正しく止まる。）以上の3つが3重項（triplet、$S=1$）。

Step 4：残り物が1重項。 4次元のうち3つを使った。残る1状態は $M=0$ の部分空間（$| \uparrow\downarrow \rangle ,| \downarrow\uparrow \rangle$ が張る2次元）の中で $| 1,0 \rangle$ に直交するもの：

$$\boxed{\ | 0,0 \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle \bigr)\ }$$

これが1重項（singlet、$S=0$）。実際 $\hat S_\pm| 0,0 \rangle =0$（上にも下にも行けない＝孤立した $S=0$）と、$\hat S^2| 0,0 \rangle =0$ が確かめられる。$\hat S^2$ の直接確認には恒等式

$$\hat S^2=\hat S_1^2+\hat S_2^2+2\hat{\bm{S}}_1\cdot\hat{\bm{S}}_2,\qquad 2\hat{\bm{S}}_1\cdot\hat{\bm{S}}_2=2\hat S_{1z}\hat S_{2z}+\hat S_{1+}\hat S_{2-}+\hat S_{1-}\hat S_{2+}$$

が便利で、各基底ベクトルへの作用を機械的に計算できる（3重項で $\hat S^2=2\hbar^2=\hbar^2\cdot1\cdot2$、1重項で $0$ となることが確かめられる）。

対称性：ここが第1章の伏線

★★　対称・反対称と統計への伏線。

得られた4状態を、粒子1と2の入れ替えに対する対称性で分類し直すと：

3重項はすべて対称、1重項は反対称——例外なくきれいに分かれる。これは偶然ではない：入れ替え演算子は $\hat{\bm{S}}$ と可換なので、同じ $S$ の多重項（$\hat S_\pm$ で互いに結ばれる）はすべて同じ対称性をもつしかない。第1章ではこの表が主役になる。電子2個の全波動関数（空間 $\times$ スピン）は反対称でなければならないから、スピンが3重項（対称）なら空間は反対称、1重項（反対称）なら空間は対称——スピンの向きが空間分布を縛り、エネルギーを左右する（交換相互作用）。なお、3スピン以上への合成（$8=4+2+2$ と経路ラベル $\hat{\bm{S}}_{12}^2$）は第4部『スピンと角運動量合成』の第3章で、テンソル積の一般論・縮約密度行列・エンタングルメントは第10部『開いた量子系と量子情報』の第1・2章で、本節を土台に展開している。