調和ポテンシャル中の $N$ 粒子

縮退した準位への詰め方：一般の数え上げ

$g$ 個の縮退した1粒子状態に $N$ 個の同種粒子を詰めるとき、独立な多粒子状態の数は

$$\text{ボゾン：}\ \binom{g+N-1}{N}\ (\text{重複組合せ}),\qquad \text{フェルミオン：}\ \binom{g}{N}\ (\text{席選び}).$$

フェルミオンは「$g$ 席から $N$ 席選ぶ」、ボゾンは「相席無制限で $N$ 個を $g$ 席に配る」の数え方である。例：$g=2$ の縮退準位（2次元等方調和振動子の第1励起殻 $| 10 \rangle ,| 01 \rangle$ など）に $N=2$ 個を詰めると、ボゾンは $\binom{3}{2}=3$ 状態（$| aa \rangle ,| bb \rangle ,\tfrac{1}{\sqrt2}(| ab \rangle +| ba \rangle )$）、スピンレス・フェルミオンは $\binom{2}{2}=1$ 状態。したがって「ボゾンの縮退度はいつでも1」ではない——本節の1次元調和井戸でボゾンの縮退度が1ばかりだったのは、1粒子準位が非縮退（$g=1$）だったからにすぎない。例外的に常に縮退度1と言えるのは基底状態（1粒子基底が非縮退なら、全員をそこに入れた対称状態が一意）だけである。