井戸型ポテンシャル中の2粒子

量子力学入門　第9部 第1章 §9.1.2　★★ 統計が波動関数に効く具体例。

いよいよ同種粒子の具体計算に入る。この節の狙いは、1粒子で解いた結果をどう2粒子へ組み立てるかという手続きを、可識別・ボゾン・フェルミオンの3つの場合を並べて体得することである。初めて扱う読者を想定し、「テンソル積とは」「2粒子の波動関数はどう書くか」「縮退度はどう数えるか」「1粒子の結果をどう転用するか」を一つずつ潰していく。舞台は幅 $a$ の1次元無限井戸 $V(x)=0\ (0<x<a)$、外は $\infty$。

準備：1粒子を解く

★　1粒子固有状態。

2粒子系はどう作るか：テンソル積と位置基底の波動関数

★★　テンソル積と位置基底の波動関数。

状態空間はテンソル積。

粒子1の状態空間 $\mathcal H_1$ と粒子2の状態空間 $\mathcal H_2$ を合わせた2粒子系の状態空間は、第0章§9.0.2で見たテンソル積 $\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$ である。1粒子の固有状態 $| \varphi_a \rangle$ を部品にとれば、2粒子の基底は積 $| \varphi_a \rangle \otimes| \varphi_b \rangle$（粒子1が状態 $a$、粒子2が状態 $b$）で張られる。

位置基底では「2変数関数」になる。

1粒子の波動関数が $\varphi_a(x)=\langle x | \varphi_a \rangle$ だったように、2粒子の波動関数は2つの位置を引数にとる：

$$\Psi(x_1,x_2)=\langle x_1 |\otimes\langle x_2 |\,| \Psi \rangle =(\langle x_1,x_2 |)| \Psi \rangle .$$

$|\Psi(x_1,x_2)|^2\,\mathrm{d} x_1\mathrm{d} x_2$ が「粒子1が $x_1$ 付近、粒子2が $x_2$ 付近に同時にいる確率」を表す。とくに積状態 $| \varphi_a \rangle \otimes| \varphi_b \rangle$ の位置表示は、各因子の波動関数の単なる積

$$\Psi(x_1,x_2)=\varphi_a(x_1)\,\varphi_b(x_2)$$

になる（ケットのテンソル積が、位置表示では関数の積に化ける——これがテンソル積の位置表示での顔）。「粒子1が軌道 $a$、粒子2が軌道 $b$」を意味する。

エネルギーは1粒子エネルギーの和（＝転用の核心）。

相互作用のない2粒子ハミルトニアンは、各粒子が独立に井戸を感じるので

$$\hat H=\hat h_1+\hat h_2,\qquad \hat h_i=\frac{\hat p_i^2}{2m}+V(x_i)$$

と分離する（$\hat h_1$ は $x_1$ だけ、$\hat h_2$ は $x_2$ だけに作用）。積状態に作用させると

$$\hat H\bigl[\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2)\bigr] =(\hat h_1\varphi_a(x_1))\varphi_b(x_2)+\varphi_a(x_1)(\hat h_2\varphi_b(x_2)) =(\varepsilon_a+\varepsilon_b)\,\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2).$$

すなわち積状態は2粒子系の固有状態で、そのエネルギーは1粒子エネルギーの和 $\varepsilon_a+\varepsilon_b$。これが「1粒子の結果を転用する」の具体的な意味である——どの1粒子軌道に各粒子を入れるかを決めれば、エネルギーは足し算で出る。以下の全問題で、エネルギーは結局 $\varepsilon_a+\varepsilon_b$ の形にしかならない（基底なら $\varepsilon_1+\varepsilon_1=2\varepsilon_1$、第一励起なら $\varepsilon_1+\varepsilon_2=5\varepsilon_1$）。統計性が効くのはどの積状態が許されるかと何通りあるか（縮退度）だけである。

可識別・ボゾン・フェルミオンで何が変わるか

★★　統計で何が変わるか。

同じ「1粒子軌道に2個を詰める」でも、粒子の素性で許される状態が変わる。

可識別粒子（参照用）。

もし2粒子が区別できるなら、どの積状態 $\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2)$ も独立に許される。「粒子1を軌道1・粒子2を軌道2」と「粒子1を軌道2・粒子2を軌道1」は別の状態として数える。

同種粒子：対称化の要請。

ところが同種粒子は交換で区別できない（§1.1）。状態は交換 $\hat P_{12}$ に対して対称（ボゾン）か反対称（フェルミオン）でなければならない。1粒子軌道 $a,b$ を部品に、対称・反対称な組合せを作るのが基本手順である：

$$\Psi_{\text{対称}}=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2)+\varphi_b(x_1)\varphi_a(x_2)\bigr],\quad \Psi_{\text{反対称}}=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2)-\varphi_b(x_1)\varphi_a(x_2)\bigr].$$

（$a=b$ なら対称は $\varphi_a(x_1)\varphi_a(x_2)$、反対称は恒等的に零——これが Pauli 排他律：同じ軌道に2個のフェルミオンは入れない。）$1/\sqrt2$ は $\varphi_a,\varphi_b$ の直交規格性から決まる規格化因子である。

スピン $\tfrac12$ フェルミオン：空間$\times$スピンで全体を反対称に。

電子のようなスピン $\tfrac12$ 粒子では、全状態は空間部分$\times$スピン部分で、交換に対する符号は両者の積で決まる。全体が反対称であるべきなので、組合せは2択に限られる（第0章§9.0.2のスピン合成の表を使う）：

$$\underbrace{\text{空間\textbf{対称}}}_{}\times\underbrace{\text{スピン\textbf{反対称}（1重項 }S=0）}_{| 0,0 \rangle },\qquad \underbrace{\text{空間\textbf{反対称}}}_{}\times\underbrace{\text{スピン\textbf{対称}（3重項 }S=1）}_{| 1,M \rangle }.$$

スピンの向き（$S=0$ か $1$ か）が空間部分の対称性を縛る——この連動が本節のすべてを支配する。

縮退度の数え方（レシピ）。

縮退度＝同じエネルギーをもつ、独立で許された状態の総数。数え方は：(1) そのエネルギーを与える1粒子軌道の配置 $\{a,b\}$ を挙げる、(2) 各配置で許される空間の対称性を決める、(3) スピン $\tfrac12$ なら、その空間対称性に合うスピン多重項の状態数（1重項＝1、3重項＝3）を掛ける、(4) 複数の配置があれば足す。次の表が3つの場合の基底・第一励起をまとめたものである（エネルギーはどれも基底 $2\varepsilon_1$、第一励起 $5\varepsilon_1$）。

同じエネルギー準位でも、統計性で縮退度が $2,1,4$ と違うのが見て取れる。以下の例題は、この表の各マス目を一つずつ丁寧に導く作業にほかならない。

ボゾンの場合

★★　対称化＝引き寄せ。

フェルミオンの場合

★★　反対称化＝排他。

ここまでの物理：「力」ではなく「統計」

★★　交換相互作用＝統計効果。

相互作用をまだ一切入れていないことを強調しておく。$\hat H=\hat h_1+\hat h_2$ には粒子間の力の項がない。それでも $S=0$ と $S=1$ でエネルギーが違った（$2\varepsilon_1$ 対 $5\varepsilon_1$）。原因は対称化の要請という統計則だけである。フェルミオンは「同じ状態を避ける」ため、スピンを揃える（$S=1$）と空間的に離れざるを得ず、運動エネルギーが上がる。この見かけの反発は力ではなく、波動関数の反対称性が生む幾何学的な帰結だ。次にこの上へ本物の相互作用を乗せると、統計と力が協働する様子が見える。

粒子間相互作用を入れる

★　相互作用の摂動。

この対比が交換相互作用の本質を最も鮮やかに示す。反対称な空間波動関数（$S=1$）は $x_1=x_2$ で恒等的に零——フェルミオンは互いを避け合う（交換相関の穴、exchange–correlation hole）。だから「同じ点でだけ効く」接触斥力を一切感じず、エネルギーが上がらない。一方 $S=0$（空間対称）は同じ点に居られるので斥力をまともに受け、$3\lambda/(2a)$ だけ上がる。スピンの向きが、空間分布を通じて相互作用エネルギーを左右する——磁性の起源がここにある。「電子間に磁気的な力は働いていないのに、スピンの向きでエネルギーが変わる」交換相互作用の正体は、(i) 反対称化の統計則が空間分布を決め、(ii) その空間分布が相互作用エネルギーを変える、という二段構えなのだ。相互作用がなければ $S=0$ のほうが低い（自由な2粒子の場合）が、強い斥力があれば $S=1$ が有利になり得る、という競合も見える（$S=1$ は斥力を避けられるから）。$\Delta E=E^{(1)}_{S=0}-E^{(1)}_{S=1}=3\lambda/2a$ が、スピン配置に依存する実効的なエネルギー差＝有効スピン相互作用であり、Heisenberg 模型 $-J\,\hat{\bm{S}}_1\cdot\hat{\bm{S}}_2$ の交換定数 $J$ の微視的起源である。

なぜ分配関数（統計力学）が顔を出さないのか

★　統計力学との切り分け。

統計力学を学んだ読者は、「同種粒子といえば Bose–Einstein／Fermi–Dirac 分布や分配関数のはずなのに、なぜここでは出てこないのか」と戸惑うかもしれない。理由は、本章と統計力学が扱っている段階が違うからである。

本章がやっているのは、個々の量子状態（微視状態）を厳密に構成し数えること、しかも温度ゼロ（基底状態と第一励起状態）の話である。温度も熱平均も登場しない。ここで確立した占有規則——フェルミオンは各1粒子状態に高々1個（Pauli 排他律）、ボゾンは制限なし、そして対称化の要請——こそが、統計力学の入力になる。

分配関数 $Z=\sum_{\text{微視状態}}\mathrm{e}^{-\beta E}$ は、本章で数えたような微視状態を温度 $T>0$ で Boltzmann 重み付けして足し上げる操作である。その和を、フェルミオン／ボゾンの占有規則を尊重して実行すると、古典（Maxwell–Boltzmann）とは違う量子統計が出る：1粒子準位 $\varepsilon$ の平均占有数が

$$\langle n\rangle_{\text{FD}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1}\ (\text{フェルミオン}),\qquad \langle n\rangle_{\text{BE}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1}\ (\text{ボゾン}).$$

分母の $+1$（各準位1個まで）と $-1$（何個でも）は、本章の $S=0$ で見た「同じ軌道に逆スピンで2個」や、ボゾンの「同じ軌道に制限なく」という規則が、有限温度に持ち上がったものにほかならない。

つまり両者の関係は上流と下流だ——本章（$T=0$、厳密な微視状態と統計則）が上流の土台を与え、統計力学（$T>0$、分配関数による熱平均）がその上に築かれる。橋渡しになるのが次節§1.3の $N$ 粒子系で、フェルミオンが低い準位から順に詰まって基底エネルギーが $E_0\propto N^2$ と大きくなる（Fermi 縮退圧）様子は、温度ゼロでの Fermi–Dirac 分布（$\varepsilon<\mu$ の準位が占有数1、$\varepsilon>\mu$ が0の階段関数）そのものである。本章で「なぜ分配関数が出ないのか」の答えは、分配関数が使う占有規則を、本章がまさに作っているから、である。