占有数表示と Fock 空間

量子力学入門　第9部 第2章 §9.2.1　★ 占有数表示・Fock 空間。

第1章の同種粒子の扱い——スレーター行列式や置換対称化——は、粒子数が増えると急速に手に負えなくなる（$N$ 粒子で $N!$ 項）。第二量子化は視点を反転させる：「どの粒子がどの状態にいるか」ではなく「各1粒子状態に何個いるか」だけで状態を指定するのである。対称化・反対称化は演算子の代数に自動的に織り込まれ、粒子数が変わる過程（放出・吸収・対生成）まで自然に書ける。統計力学の量子理想気体や、固体物理・場の量子論の共通言語であり、この部の同種粒子の議論の正統な続編である。

1粒子状態の正規直交基底 $\{| 1 \rangle ,| 2 \rangle ,\dots\}$ を固定し、多粒子状態を占有数の組で表す：

$$| n_1,n_2,n_3,\dots \rangle \qquad(n_k:\ \text{状態 }k\text{ の粒子数}).$$

ボゾンは $n_k=0,1,2,\dots$、フェルミオンは Pauli 原理により $n_k=0,1$。あらゆる粒子数の状態を束ねた空間（Fock 空間）が舞台になる。ポイントは、この表示には「どの粒子が」というラベルが最初から存在しないこと——同種粒子の識別不能性が、記法のレベルで組み込まれている。