生成・消滅演算子

量子力学入門　第9部 第2章 §9.2.2　★ $a^\dagger,a$ による粒子の生成消滅。

状態 $k$ の粒子を1個増やす／減らす演算子 $\hat a_k^\dagger,\hat a_k$ を導入する。調和振動子の代数（第0章§0.4）がそのまま雛形で：

ボゾン.

各モードが独立な調和振動子と同じ代数に従う：

$$\left[\hat a_k,\,\hat a_{k'}^\dagger\right]=\delta_{kk'},\qquad \left[\hat a_k,\,\hat a_{k'}\right]=0,\qquad \hat a_k^\dagger| \cdots n_k\cdots \rangle =\sqrt{n_k+1}\,| \cdots n_k{+}1\cdots \rangle .$$

実際、光子（電磁場のモード）やフォノンは文字どおり振動子の励起量子である——「調和振動子の $\hat a^\dagger$」と「粒子の生成演算子」が同じものだったという再解釈が、第二量子化の名の由来である。

フェルミオン.

交換子を反交換子に替える：

$$\{\hat c_k,\hat c_{k'}^\dagger\}=\delta_{kk'},\qquad \{\hat c_k,\hat c_{k'}\}=0.$$

この代数だけから Pauli 原理が定理として出る：$k=k'$ の第2式は $\hat c_k^{\dagger2}=0$——同じ状態に2個目を作ろうとすると恒等的にゼロ。また $\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger=-\hat c_2^\dagger\hat c_1^\dagger$ から、多粒子状態 $\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\cdots| 0 \rangle$ は生成の順序の入れ替えで符号を変える——スレーター行列式の反対称性が、演算子の順序の符号として自動化された。数演算子 $\hat n_k=\hat c_k^\dagger\hat c_k$ は $\hat n_k^2=\hat n_k$（固有値 $0,1$）を代数だけから満たす。