演算子の翻訳規則

量子力学入門　第9部 第2章 §9.2.3　★ 1体・2体演算子の第二量子化。

1粒子演算子（各粒子に同じ作用；運動エネルギー・外場ポテンシャルなど）と2粒子演算子（相互作用）は、次の普遍的な形に翻訳される：

$$\hat T=\sum_i t(\hat{\bm{r}}_i)\ \longrightarrow\ \sum_{kl}t_{kl}\,\hat a_k^\dagger\hat a_l, \qquad \hat V=\sum_{i<j}v(\hat{\bm{r}}_i,\hat{\bm{r}}_j)\ \longrightarrow\ \frac12\sum_{klmn}v_{kl,mn}\,\hat a_k^\dagger\hat a_l^\dagger\hat a_n\hat a_m$$

（$t_{kl},v_{kl,mn}$：1粒子基底での行列要素）。読み方は絵画的で、$\hat a_k^\dagger\hat a_l$ は「状態 $l$ の粒子を消して $k$ に作り直す」＝散乱の素過程、相互作用項は「2粒子が $(m,n)$ から $(k,l)$ へ散乱される」——Feynman ダイアグラムの頂点そのものである。粒子数を保存しない項（$\hat a^\dagger$ だけ・$\hat a$ だけ）も同じ文法で書けるので、光子の放出（第12部の第1章の自然放出：$\hat c^\dagger_{1s}\hat c_{2p}\hat a^\dagger_{\rm photon}$ という3演算子の頂点！）や超伝導の対凝縮まで、この言語で統一される。