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場の演算子：位置に粒子を作る

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第9部 第2章 ◆第二量子化入門：粒子の数を演算子にする

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第9部 第2章 §9.2.4　★ 場の演算子 ψ(x)\psi(x)。

基底を位置固有状態にとった生成演算子が場の演算子である：

ψ^†(r)=∑kφk∗(r) a^k†(位置 r に粒子を1個作る),{ψ^(r),ψ^†(r′)}=δ3(r−r′).\hat\psi^\dagger(\bm{r})=\sum_k\varphi_k^*(\bm{r})\,\hat a_k^\dagger \qquad(\text{位置 }\bm{r}\text{ に粒子を1個作る}), \qquad \{\hat\psi(\bm{r}),\hat\psi^\dagger(\bm{r}')\}=\delta^3(\bm{r}-\bm{r}').

ハミルトニアンは

H^=∫d3r ψ^†(r)[−ℏ2∇22m+U(r)]ψ^(r)+12∫d3r d3r′ ψ^†(r)ψ^†(r′) v(r,r′) ψ^(r′)ψ^(r)\hat H=\int\mathrm{d}^3r\ \hat\psi^\dagger(\bm{r})\Bigl[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+U(\bm{r})\Bigr]\hat\psi(\bm{r}) +\frac12\int\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3r'\ \hat\psi^\dagger(\bm{r})\hat\psi^\dagger(\bm{r}')\,v(\bm{r},\bm{r}')\,\hat\psi(\bm{r}')\hat\psi(\bm{r})

——Schrödinger 方程式の ψ\psi が演算子に昇格した形になる（これも「第二」量子化の名の由来）。この見方の転回は大きい：粒子は基本的な実体ではなく、場の励起量子である。電子も光子も「電子場・電磁場という舞台の さざ波」として同格に扱われ、同種粒子が完全に区別できない理由——すべての電子は同じ1つの場の励起だから——に最終的な答えが与えられる。ここから先（場の時間発展・相対論的な場）が場の量子論である。

本章のまとめ

占有数表示 ∣n1,n2,… ⟩| n_1,n_2,\dots \rangle（Fock 空間）＝「どの粒子が」を最初から捨てた記法。生成消滅演算子：ボゾンは [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1（調和振動子の代数の再利用）、フェルミオンは {c^,c^†}=1\{\hat c,\hat c^\dagger\}=1——Pauli 原理（c^†2=0\hat c^{\dagger2}=0）と行列式の反対称性が代数の定理になる。演算子の翻訳：1体 →∑tkla^k†a^l\to\sum t_{kl}\hat a^\dagger_k\hat a_l（散乱の素過程）、2体 →\to 4演算子の頂点。場の演算子 ψ^†(r)\hat\psi^\dagger(\bm{r}) で「粒子＝場の励起」へ視点が反転し、粒子数の変わる過程（自然放出・対生成）まで同じ文法に載る。統計力学の量子理想気体（∑kεkn^k\sum_k\varepsilon_k\hat n_k と Bose/Fermi 分布）は、この言語の最初の応用である。

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