密度行列と量子チャネル(要約)

量子情報入門　第1章 §1.8

量子誤り訂正では、雑音の存在下での混合状態の扱いが必要になる。ここでは第2部で必要となる最小限を要約する。

密度行列

系の状態が確率 $p_i$ で $\ket{\psi_i}$ にある(古典的な統計混合)とき、密度行列を

$$\rho = \sum_i p_i\ket{\psi_i}\!\bra{\psi_i}$$

で定義する。密度行列は次の性質で特徴づけられる: (i) Hermite、(ii) 半正定値、(iii) $\mathrm{tr}(\rho)=1$。純粋状態は $\rho^2=\rho$、混合状態は $\rho^2\neq\rho$。観測量 $M$ の期待値は $\langle M\rangle = \mathrm{tr}(M\rho)$ で計算する。

部分トレースと完全混合状態

部分トレースの定義

複合系 $\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$ 上の状態 $\rho_{AB}$ に対し、系 $B$ を「無視」して系 $A$ だけの実効状態を得る操作が部分トレースである:

$$\rho_A = \mathrm{tr}_B(\rho_{AB}) = \sum_j (I_A\otimes \bra{j}_B)\, \rho_{AB}\, (I_A\otimes \ket{j}_B).$$

ここで $\{\ket j_B\}$ は $B$ の任意の正規直交基底で、結果は基底の選び方に依らない。

操作的意味

$\rho_A$ は「$B$ には触れずに $A$ に関する任意の測定・実験を行ったとき、その結果の統計を完全に決める」実効的状態である。すなわち、$A$ 側の任意の観測量 $M_A$ に対し $\langle M_A\otimes I_B\rangle_{\rho_{AB}} = \mathrm{tr}(M_A \rho_A)$ が成り立つ。物理的には「相手が何をしているか分からないときに、自分の側だけを見て何が言えるか」を記述する。

ベル状態の部分トレース

最大もつれ状態 $\ket{\Phi^+}=(\ket{00}+\ket{11})/\sqrt2$ を考える:

$$\rho_{AB} = \ket{\Phi^+}\bra{\Phi^+} = \frac 12(\ket{00}\bra{00} + \ket{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{11}\bra{11}).$$

$B$ 側の部分トレース $\bra 0_B(\cdots)\ket 0_B + \bra 1_B(\cdots)\ket 1_B$ を計算する。$\ket{ij}\bra{kl} = \ket i_A\bra k_A\otimes \ket j_B\bra l_B$ と分解すれば、$B$ 側は $\bra{m}_B\ket j_B\bra l_B\ket m_B = \delta_{jm}\delta_{lm}$ となる項だけが残るので、$j=l$ の対角項のみが生き残る。よって

$$\rho_A = \frac 12(\ket 0\bra 0 + \ket 1\bra 1) = \frac 12 I.$$

$I/2$ が「完全混合状態」である理由

密度行列 $I/2$ の意味を検算しよう。任意の観測量 $M$ の期待値は

$$\langle M\rangle = \mathrm{tr}(M\cdot I/2) = \frac{\mathrm{tr}\,M}{2}.$$

特に、任意の1次元射影子 $P_{\hat n}=\frac{I+\hat n\cdot\vec\sigma}{2}$($\hat n\in S^2$、Bloch球上の任意方向)に対して $\mathrm{tr}(P_{\hat n}\cdot I/2) = 1/2$。すなわちどの基底で測っても $\ket +$ の確率も $\ket -$ の確率もそれぞれ $50\%$。「量子ビットの状態について何一つ情報がない」状態である。Bloch ベクトルで見ると $\langle X\rangle=\langle Y\rangle=\langle Z\rangle=0$、Bloch 球の中心に対応し、純粋状態(球面上)から最も遠い点である。

もつれ状態でなぜ完全混合になるか(物理的直観)

ベル状態 $\ket{\Phi^+}$ は「$A$ と $B$ の測定結果が完全に相関しているが、個々の結果は決まっていない」状態である。$A$ 側だけ計算基底で測ると $\ket 0$ か $\ket 1$ が $50\%$ ずつで出るし、Hadamard 基底で測っても $\ket +,\ket -$ が $50\%$ ずつ。$B$ を見ないから相関を活用できず、情報は $0$。だから $\rho_A = I/2$。

裏を返せば、もつれの情報は「$A$ と $B$ の関係」に載っており、「$A$ だけ」「$B$ だけ」には載っていない。両方の結果を照合してはじめて相関が見え、CHSH 不等式の破れなど古典に真似できない現象が現れる。これは古典相関と決定的に異なる。

成分での計算法

実際に手を動かすときは成分公式が便利である。基底 $\ket i_A\otimes\ket j_B$ で $\rho_{AB}$ の成分を $\rho_{ij,kl}$ と書けば

$$(\rho_A)_{ik} = \sum_j \rho_{ij,\,kj},$$

つまり「$B$ のインデックスを対角に揃えて足す」だけである。2量子ビットなら $4\times4$ 行列 $\rho_{AB}$ から

$$\rho_A = \begin{pmatrix} \rho_{00,00}+\rho_{01,01} & \rho_{00,10}+\rho_{01,11}\\ \rho_{10,00}+\rho_{11,01} & \rho_{10,10}+\rho_{11,11}\end{pmatrix}$$

と $2\times2$ が得られる。有用な性質として、線形性、トレース保存 $\mathrm{tr}\,\rho_A=1$、正値性の保存、因子化 $\mathrm{tr}_B(A\otimes B)=A\,\mathrm{tr}(B)$ が成り立つ。とくに最後の性質から、積状態 $\ket\alpha_A\otimes\ket\beta_B$ の部分トレースは純粋状態 $\ket{\alpha}\!\bra{\alpha}$ のままである——縮約状態が混合になるのはもつれがあるとき、かつそのときに限る。

Schmidt分解とエンタングルメントエントロピー

「もつれの量」を系統的に扱う道具がSchmidt分解である。

証明は係数行列 $c_{ij}$($\ket\psi=\sum_{ij}c_{ij}\ket i\ket j$)の特異値分解そのものである。Schmidt分解の直接の帰結として、両側の縮約密度行列は

$$\rho_A = \sum_i\lambda_i^2\ket{e_i}\!\bra{e_i},\qquad \rho_B = \sum_i\lambda_i^2\ket{f_i}\!\bra{f_i}$$

と同じ固有値スペクトル $\{\lambda_i^2\}$ を持つ。もつれの有無はSchmidt数で判定できる:Schmidt数 $1$ が積状態(もつれなし)、$2$ 以上がもつれ状態である。

もつれの量は、縮約密度行列のvon Neumannエントロピー

$$S(A) = -\mathrm{tr}(\rho_A\log_2\rho_A) = -\sum_i\lambda_i^2\log_2\lambda_i^2$$

——エンタングルメントエントロピー——で測る。スペクトルの同一性から $S(A)=S(B)$ が常に成り立つ。$S=0$ が積状態、$S=\log_2 d$($d=\min(d_A,d_B)$)が最大もつれに対応する。ベル状態では $\lambda_1^2=\lambda_2^2=1/2$ より $S = 1$ ビット:先ほど計算した $\rho_A=I/2$(完全混合)が「1量子ビット分の情報が完全に相関側へ逃げている」ことの定量表現である。

なおこの節の議論は純粋な全体状態に対するものである。全体が混合状態の場合のもつれの定量化はより難しい問題で、本稿では扱わない。

量子操作とKraus表現

雑音や測定など、より一般的な状態変化は量子操作(quantum operation, quantum channel)$\mathcal E$ で記述される。CPTP(完全正値・トレース保存)写像として、Kraus表現

$$\mathcal E(\rho) = \sum_k E_k\rho E_k^\dagger,\qquad \sum_k E_k^\dagger E_k = I$$

が存在する。$\{E_k\}$ をKraus演算子(operation element)と呼ぶ。

環境モデルからの導出

Kraus表現は天下りの公理ではなく、「系は環境と相互作用しており、全体はユニタリに発展するが、我々は系しか見ない」という物理的描像から導出できる。系 $S$ と環境 $E$ が初期に積状態 $\rho\otimes\ket{e_0}\!\bra{e_0}$ にあり(環境が混合状態でも、より大きな環境を付けて純粋化すればこの形にできる)、全体がユニタリ $U$ で発展した後に環境をトレースアウトすると

$$\mathcal E(\rho) = \mathrm{tr}_E\!\left[U(\rho\otimes\ket{e_0}\!\bra{e_0})U^\dagger\right] = \sum_k \underbrace{\bra{e_k}U\ket{e_0}}_{\textstyle\equiv E_k}\,\rho\,\bra{e_0}U^\dagger\ket{e_k} = \sum_k E_k\rho E_k^\dagger.$$

ここで $\{\ket{e_k}\}$ は環境の正規直交基底で、$E_k=\bra{e_k}U\ket{e_0}$ は系にのみ作用する演算子である(環境のブラケットは環境の足だけを潰す)。完全性 $\sum_kE_k^\dagger E_k=I$ は $U$ のユニタリ性から従う。すなわち「開放系のダイナミクス = 大きな閉じた系のユニタリ発展の影」であり、部分トレースがユニタリ発展をKraus形式へ変換する。第1.3.2節で見た「測定して結果を捨てる」操作との形式的一致も、環境を測定装置と読み替えれば自然に理解できる。

ノイズチャネルの具体例

第2部で相手にする代表的な雑音を列挙する。

• ビット反転通信路 $\mathcal E(\rho) = (1-p)\rho + pX\rho X$、Kraus演算子は $\{\sqrt{1-p}\,I, \sqrt p\,X\}$。位相反転($X\to Z$)、ビット・位相反転($X\to Y$)も同様。
• 脱分極通信路 $\mathcal E(\rho) = (1-p)\rho + \frac p3(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z)$。「確率 $p$ で状態が完全混合 $I/2$ に置き換わる」チャネルと同値で、方向の区別がない最も対称的な雑音。
• 振幅減衰(amplitude damping):エネルギー散逸($\ket 1$ が $\ket 0$ へ崩壊する自然放出など)のモデル。Kraus演算子は

$$E_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad E_1 = \begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}$$

($\gamma$ は崩壊確率;$E_0^\dagger E_0+E_1^\dagger E_1=I$ は直接確認できる)。$E_1$ が「量子ジャンプ $\ket1\to\ket0$」、$E_0$ が「ジャンプが起きなかったことによる振幅の再重み付け」に対応する。

• 位相減衰(phase damping):エネルギーを変えずに位相情報だけが失われる過程。Kraus演算子は

$$K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\lambda}\end{pmatrix},\qquad K_1 = \begin{pmatrix}0&0\\0&\sqrt\lambda\end{pmatrix}.$$

密度行列の非対角成分(コヒーレンス)だけが減衰し、対角成分(占有確率)は不変。実は位相反転通信路と同じチャネル族であり(Kraus非一意性の好例)、デコヒーレンス——重ね合わせが古典混合へ壊れていく過程——の最小モデルである。

Blochベクトルの言葉では、これらのチャネルはいずれもBloch球を(平行移動を伴い得る)楕円体へ収縮させる写像であり、純粋状態(球面)が混合状態(内部)へ引き込まれていく様子として可視化できる。

Kraus表現の非一意性と公理的特徴づけ

Kraus表現は一意ではない:$F_j=\sum_k u_{jk}E_k$($u$ はユニタリ行列)と取り替えても同じ $\mathcal E$ を与え、逆に同じチャネルの任意の2つのKraus表現はこの形で結ばれる。また $d$ 次元系のチャネルは高々 $d^2$ 個のKraus演算子で表現できる(1量子ビットなら $4$ 個以内)。このユニタリ自由度が、後の量子誤り訂正条件の証明で本質的な役割を果たす:誤り集合 $\{E_i\}$ を訂正できる符号は、その線形結合 $\{F_j=\sum_i m_{ji}E_i\}$ で書ける任意の誤りも自動的に訂正できる、という結果である(誤りの離散化の一般形)。

なお、環境モデルを経由しない公理的な特徴づけも可能で、「線形・トレース保存・完全正値(任意の補助系を付けた $\mathcal E\otimes I$ も正値)」を満たす写像はKraus表現を持つ、というのがChoiの定理である。単なる正値性では足りず完全正値性が要る理由は、系がもつれた相手を持ち得るからである(転置写像が正値だが完全正値でない反例として有名)。

フィデリティ

何を測りたいか

雑音のある通信路や記憶装置で $\ket\psi$ を送ったつもりが、実際には別の(混合状態になっている可能性のある)状態 $\rho$ になってしまった。どれくらい元の状態を保っているかを数値化したい。これがフィデリティである。

純粋状態同士

2つの純粋状態 $\ket\psi,\ket\phi$ の「近さ」の自然な尺度は内積の絶対値

$$F(\ket\psi,\ket\phi) = |\braket{\psi}{\phi}|.$$

これは $F=1$ で完全一致(全体位相を除いて)、$F=0$ で直交(完全に区別可能)。$F^2 = |\braket{\psi}{\phi}|^2$ は「$\ket\phi$ を $\ket\psi$ の射影測定 $P_\psi = \ket\psi\bra\psi$ にかけたときに $+1$ が出る確率」に等しい。

純粋状態と混合状態

これを純粋 vs 混合の場合 $(\ket\psi, \rho)$ に拡張する:

$$F(\ket\psi, \rho) = \sqrt{\bra\psi \rho\ket\psi}.$$

$\rho = \sum_i p_i\ket{\phi_i}\bra{\phi_i}$ と分解すれば

$$\bra\psi\rho\ket\psi = \sum_i p_i|\braket{\psi}{\phi_i}|^2,$$

これは「$\rho$ が確率 $p_i$ で $\ket{\phi_i}$ にあると見なしたときの $\ket\psi$ との重なりの平均」、あるいは「$\rho$ を射影測定 $P_\psi$ にかけたときに $+1$ が出る確率」そのものである。平方根を取るのは、純粋状態極限で内積の絶対値 $|\braket{\psi}{\phi}|$ と一致させ、$F$ を確率振幅レベルの量にするためである($F^2$ は確率、$F$ は振幅、と覚えるとよい)。

一般の混合状態同士

$\rho,\sigma$ 両方混合の場合は Uhlmann のフィデリティ

$$F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\sqrt{\sqrt\rho\, \sigma\, \sqrt\rho}$$

で定義する。片方が純粋状態のときは上の式に還元される。

基本性質

• $0\le F\le 1$、$F=1\iff \rho=\sigma$
• ユニタリ不変:$F(U\rho U^\dagger, U\sigma U^\dagger) = F(\rho,\sigma)$
• 部分トレースで単調非減少:$F(\rho_A,\sigma_A)\ge F(\rho_{AB},\sigma_{AB})$(見る部分を減らすと区別しにくくなる)

これらは「距離的な良い性質」を持っており、実際 $D(\rho,\sigma) = \sqrt{1-F^2(\rho,\sigma)}$ は距離になる(Bures距離)。

具体例:誤り訂正効果の定量化

ビット反転通信路で $\ket\psi$ を送ると受信状態は $\rho = (1-p)\ket\psi\bra\psi + pX\ket\psi\bra\psi X$ となる。フィデリティは

$$F = \sqrt{(1-p) + p|\bra\psi X\ket\psi|^2}.$$

$\ket\psi=\ket 0$ のとき $\bra 0 X\ket 0=0$ より $F=\sqrt{1-p}$。これが符号化なしでの最悪フィデリティである。

3量子ビット符号を使うと最悪フィデリティは $\sqrt{1-3p^2+2p^3}$ に改善される。$p$ が小さいとき

$$\sqrt{1-p}\approx 1-\frac{p}{2},\qquad \sqrt{1-3p^2+2p^3}\approx 1-\frac{3p^2}{2}.$$

誤りの効果が $p$ の1次から2次へ落ちるのがフィデリティで定量的に見える。これが誤り訂正符号の効用そのものである。

以上で第2部への準備が整った。次からは、これらの道具立てを使って「量子情報を雑音から守る」という問題に取り組む。