位相反転符号とShor符号

量子情報入門　第2章 §2.3

位相反転通信路(確率 $p$ で $Z$ が作用する)には古典的な対応物が存在しないが、Hadamard基底 $\ket{\pm}=(\ket{0}\pm\ket{1})/\sqrt2$ で見ると位相反転はこの基底上のビット反転として振る舞う。したがって

$$\ket{0_L}=\ket{+++},\qquad \ket{1_L}=\ket{---}$$

とし、ビット反転符号の手続き全体をHadamard基底で(つまりHadamardゲートで基底変換してから)行えばよい。

Shorの9量子ビット符号

ビット反転符号と位相反転符号を入れ子(concatenation, 連結)にしたものがShor符号である。まず位相反転符号で符号化し、

$$\ket{0}\to\ket{+++},\qquad \ket{1}\to\ket{---}$$

続いてこの3つの量子ビットの各々をビット反転符号でさらに符号化する($\ket{+}\to(\ket{000}+\ket{111})/\sqrt2$ など)。結果として

$$\ket{0_L}=\frac{(\ket{000}+\ket{111})^{\otimes 3}}{2\sqrt2},\qquad \ket{1_L}=\frac{(\ket{000}-\ket{111})^{\otimes 3}}{2\sqrt2}$$

という9量子ビット符号が得られる。

驚くべきことに、この符号は任意の1量子ビット誤り(連続的な誤りも含む)を訂正できる。理由は次の通りである。第1量子ビットに作用する任意の演算子 $E_i$ は、恒等演算子とPauli行列の線形結合として

$$E_i = e_{i0}I + e_{i1}X_1 + e_{i2}Z_1 + e_{i3}X_1Z_1$$

と書ける。症候測定はこの重ね合わせを $I,X_1,Z_1,X_1Z_1$ のいずれか1つの寄与に射影的に収束させ、その後は対応する逆操作で完全に回復できる。つまり「$I,X,Z,XZ$ という離散的な4種類の誤りだけ」を訂正できれば、連続無限にある誤りすべてが自動的に訂正されてしまう。この誤りの離散化こそが量子誤り訂正が原理的に可能であることの核心である。