量子誤り訂正条件(一般論)

量子情報入門　第2章 §2.4

上の直観を一般化する。符号空間 $C$ への射影子を $P$ とする。

この条件の意味は次のように解釈できる。$\alpha_{ij}$ が対角的であれば、異なる誤り $E_i,E_j$ ($i\neq j$)は符号語を互いに直交する部分空間へ写す(区別可能)。対角成分が符号語に依らない定数であることは、誤りが符号化された量子情報自身については何も教えないこと、すなわち症候測定が情報を破壊しないことを保証する。

さらに重要な系として、ある誤り集合 $\{E_i\}$ が訂正可能であれば、その線形結合で書けるどんな誤り演算子 $F_j=\sum_i m_{ji}E_i$ も同じ回復操作 $\mathcal R$ で訂正できる。1量子ビットに対する任意の演算子は $I,X,Y,Z$ の線形結合で書けるから、「$I,X,Y,Z$ を訂正できる符号は任意の1量子ビット誤りを訂正できる」。これが脱分極通信路 $\mathcal E(\rho)=(1-p)\rho+\frac p3(X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z)$ が誤り訂正の議論で頻繁に登場する理由である。

量子Hamming限界

$n$ 量子ビットで $k$ 量子ビットを符号化し、任意の $t$ 量子ビット誤りを訂正する非縮退符号は

$$\sum_{j=0}^{t}\binom{n}{j}3^j 2^k \le 2^n$$

を満たさねばならない。$k=1,t=1$ の場合、$n\ge 5$ が要求される。実際、5量子ビットが1量子ビット誤りを訂正できる最小サイズの符号である。