古典線形符号からCSS符号へ

量子情報入門　第2章 §2.5

CSS符号(Calderbank–Shor–Steane符号)は古典線形符号の理論を流用して量子符号を構成する方法である。$[n,k_1]$ 符号 $C_1$ と $[n,k_2]$ 符号 $C_2$ が $C_2\subset C_1$ を満たし、$C_1$ と $C_2^{\perp}$ がともに $t$ 誤り訂正能力を持つとする。剰余類の代表元 $x\in C_1$ に対し

$$\ket{x+C_2}\equiv \frac{1}{\sqrt{|C_2|}}\sum_{y\in C_2}\ket{x+y}$$

という量子状態を定義すると、これらは $C_1/C_2$ の剰余類の数だけ直交する状態の族をなし、$[n,k_1-k_2]$ 量子符号 $\mathrm{CSS}(C_1,C_2)$ が得られる。

この構成の美しさは、ビット反転誤りを $C_1$ の古典的な誤り訂正能力で、位相反転誤り(Hadamard変換後にビット反転として現れる)を $C_2^{\perp}$ の誤り訂正能力で、独立に処理できる点にある。

代表例がSteane符号である。$[7,4,3]$ Hamming符号を $C_1=C=C_2^{\perp}$ として構成される $[7,1]$ 符号で、任意の1量子ビット誤りを訂正できる。パリティ検査行列は

$$H=\begin{pmatrix} 0&0&0&1&1&1&1\\ 0&1&1&0&0&1&1\\ 1&0&1&0&1&0&1 \end{pmatrix}$$

であり、後述のフォールトトレラント計算において扱いやすい構造を持つため頻繁に用いられる。