フォールトトレラント量子計算

量子情報入門　第2章 §2.9

ここまでは静止した量子情報の保護を論じてきたが、実際の計算では、状態準備・ゲート・測定・配線のすべてが雑音に冒される中で計算を進めねばならない。素朴に「復号 $\to$ ゲート $\to$ 再符号化」を行うと復号中の誤りに無防備になるので、符号化されたまま論理ゲートを実行する。これがフォールトトレラント量子計算である。

誤りはどう伝播するか

設計の敵は誤りの伝播である。これを定量的に追う道具が、前章で鍛えた共役である。CNOT(ユニタリ $U$)の直前に第1ビットで $X$ 誤りが起きたとすると、回路全体の作用は

$$UX_1 = UX_1U^\dagger\,U = (X_1X_2)\,U$$

——「完璧なCNOTの後に、両方のビットに $X$ 誤りが起きた」ことと等価である。共役表のとおり $X$ は制御から標的へ増殖し、$Z$ は標的から制御へ逆流する。1個の誤りが2個に化ける——これを符号ブロックの内部で許すと、訂正能力($t=1$)が一撃で飽和してしまう。

ゲート自身が故障する場合も同じ枠組みで扱える。雑音のあるCNOTの量子操作 $\mathcal E$ は $\mathcal E=(\mathcal E\circ\mathcal U^{-1})\circ\mathcal U$($\mathcal U$ は完璧なCNOT)と書き直せるので、「完璧なゲート+その後の小さな雑音(Pauli誤りが確率 $p$ 程度で乗る)」とモデル化してよい。以降、誤りは $I,X,Y,Z$ が確率的に乗るものとして数える(誤りの離散化により、これで一般性を失わない)。

横断的ゲート

最も簡単にフォールトトレランスを実現するのが、符号の各物理ビットに独立にゲートを作用させる横断的(transversal)実装である。ビット同士が一切相互作用しないので、1部品の故障は1ビットにしか影響できず、定義が自動的に満たされる。誤りの通過も無害である:たとえば横断的 $\bar H=H^{\otimes7}$ の直前に $Z$ 誤りがあっても、$HZ=XH$ より「完璧な $\bar H$ の後の $X$ 誤り1個」に化けるだけで、誤りの個数は増えない。

Steane符号では次が横断的に実装できる(論理演算子 $\bar Z=Z^{\otimes7}$, $\bar X=X^{\otimes7}$ を共役でどう動かすかを確かめればよい):

• Pauli:$\bar X=X^{\otimes7}$、$\bar Z=Z^{\otimes7}$。
• Hadamard:$\bar H=H^{\otimes7}$ は共役で $\bar Z\leftrightarrow\bar X$ を交換する——論理レベルでHadamardの定義を満たす。
• 位相ゲート:素朴な $S^{\otimes7}$ は $\bar X\mapsto-\bar Y$ と符号が余るので、$\bar Z$ で符号を直した $(ZS)^{\otimes7}$ が論理 $\bar S$ になる。
• CNOT:2つの符号ブロックの対応するビット同士を7本のCNOTで結ぶ。CNOTは誤りを増殖させるが、増殖先は別ブロックの対応ビットであり、各ブロック内では高々1個のまま——「ブロックをまたぐ伝播は許容、ブロック内の増殖は禁止」という設計原理の見本である。

$H,S,\mathrm{CNOT}$ が揃ったので、前章の定理によりClifford群のすべてがフォールトトレラントに実行できる。しかしGottesman–Knillの教えるとおり、Cliffordだけでは古典を超えられない。残るは $T$($\pi/8$)ゲートである。

フォールトトレラント $\pi/8$ ゲート

$T$ はSteane符号で横断的に実装できない。代わりに測定と古典制御で「ゲートを注入する」構成を用いる。用意するのは補助の論理ビット1つ、状態

$$\ket\Theta = \frac{\ket{0_L}+e^{i\pi/4}\ket{1_L}}{\sqrt2} = \bar T\bar H\ket{0_L}$$

である(この状態の準備が非自明な部分で、後述)。手順は3手:

(1) データ $\ket\psi=a\ket{0_L}+b\ket{1_L}$ を標的、$\ket\Theta$ を制御として、横断的CNOTを作用させる。状態を書き下すと

$$\frac{1}{\sqrt2}\Bigl[\bigl(a\ket0+be^{i\pi/4}\ket1\bigr)\ket0 + \bigl(b\ket0+ae^{i\pi/4}\ket1\bigr)\ket1\Bigr]$$

(添字 $L$ を省略;第1因子が元 $\ket\Theta$ 側)。

(2) 第2レジスタ(元データ側)を計算基底でフォールトトレラントに測定する。

(3) 結果が $0$ ならそのまま、$1$ なら残ったレジスタに $\bar S\bar X$ を適用する。$SX(b\ket0+ae^{i\pi/4}\ket1) \propto a\ket0+be^{i\pi/4}\ket1$ となり、どちらの場合も残りは $\bar T\ket\psi$(全体位相を除く)——$T$ ゲートが完成する(両分岐とも状態ベクトル計算で数値検証済み)。

この構成の要点は、難しいゲート $T$ の適用を「特殊な状態 $\ket\Theta$ の準備」に置き換えたことである。回路本体はCNOT・測定・$SX$(いずれもフォールトトレラント化済み)だけで、これは第4章のテレポーテーションの発想の転用——ゲートテレポーテーション——である。$\ket\Theta$ のような状態は魔法状態(magic state)と呼ばれ、その供給がフォールトトレラント計算の律速資源になる。

では $\ket\Theta$ 自身はどう用意するか。$\ket\Theta$ は演算子 $e^{-i\pi/4}SX$ の固有値 $+1$ の固有状態である($THZH T^\dagger = TXT^\dagger = e^{-i\pi/4}SX$ による)。そこで論理 $\ket{0_L}$ を用意し、$e^{-i\pi/4}SX$ を次節の方法でフォールトトレラントに測定する。結果 $+1$ ならそのまま $\ket\Theta$、結果 $-1$ なら $ZSXZ=-SX$ より横断的 $\bar Z$ 1発で $+1$ 固有状態に直せる。同じ思想の(より複雑な)構成でToffoliゲートもフォールトトレラント化でき、$\{H,S,\mathrm{CNOT},T\}$——普遍ゲート集合の全部——が揃う。

フォールトトレラント測定

残る部品は「演算子 $M$(固有値 $\pm1$、横断的実装 $M'^{\otimes n}$ を持つ)のフォールトトレラントな測定」である。前章の1補助ビット回路(補助 $\ket+$ から制御 $M$)をそのまま符号ブロックに使うと、1つの補助ビットがすべてのデータビットに触るため、補助の誤り1個が全データへ増殖して失格である。

解決は猫状態 $(\ket{0\cdots0}+\ket{1\cdots1})/\sqrt2$(データビットと同数の補助)を使うことである。

1. 準備と検証:猫状態を作る回路自体はフォールトトレラントでないので、作った後にペアのパリティ $Z_iZ_j$ を追加ビットで検査し、不合格なら捨てて作り直す(検証)。
2. 制御 $M'$ の横断的適用:猫状態の第 $i$ ビットを制御に、データ第 $i$ ビットへ制御 $M'$ を1対1で張る。猫が $\ket{0\cdots0}$ 成分なら何もせず、$\ket{1\cdots1}$ 成分なら符号化された $M$ が丸ごと作用する——1補助ビット回路と同じキックバックが起こるが、補助とデータの接触が1対1なので誤りはブロック内で増殖しない。
3. 復号と多数決:猫状態をCNOT列と $H$ で1ビットに畳んで測る。補助内の $Z$ 誤りはデータへは伝播しないが測定結果を狂わせうるので、全体を3回繰り返して多数決を取る。1回の結果が狂うには故障が要るから、多数決が狂う確率は $O(p^2)$ に抑えられる。$X$/$Y$ 誤りは高々1個しか補助に残らないことが示せ、データへの影響も高々1個——定義の両条件が満たされる。

$M$ が1論理ビットの観測量である必要はない。スタビライザー生成元($X_1Z_2X_3$ のようなPauliテンソル積)の測定にもそのまま一般化でき、これでフォールトトレラントな症候測定・符号化(論理 $\ket{0_L}$ 準備=全生成元と $\bar Z$ の測定+符号合わせ)・最終読み出し(論理 $\bar Z$ の測定)のすべてが手に入る。