古典ノイズと Markov 過程

量子情報入門　第3章 §3.2　★★ 古典の遷移確率・正値性・完全性が量子の演算子和表現・完全性関係へそのまま対応する

量子ノイズを理解する前に、古典ノイズの直観を整理しておく。これは後の量子論と一対一に対応する。

ビット反転と遷移確率

★★　発展行列 $E$ による線形関係。量子操作 $\mathcal{E}$ の線形性の起源

ハードディスク上のビットが時間とともに確率 $p$ で反転する状況を考える。初期確率を $(p_0,p_1)$、最終確率を $(q_0,q_1)$ とすれば、全確率の法則

$$p(Y=y)=\sum_x p(Y=y\mid X=x)\,p(X=x)$$

より、条件付き確率（遷移確率）を成分とする行列を用いて

$$\begin{pmatrix} q_0\\ q_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-p & p\\ p & 1-p\end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_0\\ p_1\end{pmatrix}$$

と書ける。一般に出力確率 $\vec q$ と入力確率 $\vec p$ は、発展行列 $E$ により線形に関係する：

$$\vec q = E\vec p .\tag{3.3}$$

この線形性は、量子論では密度行列を確率分布に置き換える形でそのまま受け継がれる。

$E$ が満たすべき二条件

★★　正値性・完全性 $\leftrightarrow$ 量子の完全正値性・トレース保存の直接の類比

$E$ が確率分布を確率分布に写すための必要十分条件は次の二つである。

• 正値性 (positivity)：$E$ の全成分が非負。さもなくば負の確率が生じうる。
• 完全性 (completeness)：$E$ の各列の和が $1$。たとえば第1列の和が $1$ でなければ、$\vec p=(1,0,\dots)^{\mathsf T}$ に作用させた像が確率分布にならない。

さらに多段過程について、各段のノイズを引き起こす環境が独立であると仮定できるとき、過程 $X\to Y\to Z$ はMarkov 過程となる。これら（線形性・正値性・完全性・Markov 性）のそれぞれが量子ノイズ理論に対応物を持つ。