量子操作：三つの視点

量子情報入門　第3章 §3.3　★★★ $\rho'=\mathcal{E}(\rho)$ の定式化そのもの。本稿全体の核。以下の三定式化はすべてここへ帰着する

古典状態がベクトル $\vec p$ で記述されたのに対し、量子状態は密度演算子 $\rho$ で記述される。(3.3) に対応して、量子状態は

$$\rho' = \mathcal{E}(\rho)$$

と変換される。$\mathcal{E}$ を量子操作と呼ぶ。既知の例として、ユニタリ発展 $\mathcal{E}(\rho)=U\rho U^{\dagger}$、測定 $\mathcal{E}_m(\rho)=M_m\rho M_m^{\dagger}$ がある。以下では $\mathcal{E}$ を理解する三つの等価な道（図的にいえば「系–環境結合」「演算子和表現」「公理論」の三頂点）を順に述べる。

視点 I：系と環境の結合

★★★　量子操作の第一の定義 (3.5)。系–環境モデルの出発点

開いた系の力学を、主系と環境の相互作用から生じるものとみなす。入力時に系と環境が積状態 $\rho\otimes\rho_{\mathrm{env}}$ にあり、合成系が閉じた系としてユニタリ $U$ で発展した後、環境について部分トレースをとる、と考えると（図 3.1）

$$\mathcal{E}(\rho)=\operatorname{tr}_{\mathrm{env}}\!\bigl[\,U(\rho\otimes\rho_{\mathrm{env}})U^{\dagger}\,\bigr].\tag{3.5}$$

これが量子操作の第一の定義である。

入力空間と出力空間を一般に異ならせる定義（系 $A$ を補助系 $B$ と相互作用させ、$A$ を捨てて $B$ を残す等）も可能だが、本稿では特に断らない限り入出力空間は同一とする。

視点 II：演算子和表現

★★★　Kraus 表現 $\mathcal{E}(\rho)=\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger}$。以降の計算すべてで使う実働形式

(3.5) を主系の演算子だけで書き直すと、計算上きわめて便利な演算子和表現(operator-sum representation) が得られる。環境の正規直交基底 $\{\left|e_k\right\rangle \}$ と初期状態$\rho_{\mathrm{env}}=\left|e_0\right\rangle\!\left\langle e_0\right|$（純粋状態としてよい。混合なら浄化すればよい）をとると、

$$\begin{align*}\mathcal{E}(\rho) &=\sum_k \left\langle e_k\right|U\bigl(\rho\otimes\left|e_0\right\rangle\!\left\langle e_0\right|\bigr)U^{\dagger}\left|e_k\right\rangle\\&=\sum_k E_k\,\rho\,E_k^{\dagger}, \qquad E_k\equiv\left\langle e_k\right|U\left|e_0\right\rangle .\tag{3.6}\end{align*}$$

$E_k$ は主系のみに作用する演算子で、操作要素 (operation elements) と呼ばれる。環境の詳細はすべて $\{E_k\}$ に押し込められ、明示的に現れない点が本質的な利点である。

完全性関係

★★★　$\sum_k E_k^{\dagger} E_k=\mathbf{1}$。トレース保存の判定条件そのもの、全チャネルで検算に使う

トレース保存性 $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]=1$ を任意の $\rho$ について課すと、

$$1=\operatorname{tr}\!\Bigl(\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger}\Bigr)=\operatorname{tr}\!\Bigl(\sum_k E_k^{\dagger} E_k\,\rho\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \sum_k E_k^{\dagger} E_k=\mathbf{1}\ }\tag{3.7}$$

を得る。これが古典の完全性条件に対応する完全性関係である。導出を分解しておく。第一の等号は状態の規格化（全確率が $1$）の要請そのものである。第二の等号は、トレースの線形性で和を外に出したうえで、各項にトレースの巡回性$\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)$ を適用したもの：$\operatorname{tr}(E_k\rho E_k^{\dagger})=\operatorname{tr}(E_k^{\dagger} E_k\rho)$。最後の含意では「任意の $\rho$ について成り立つ」ことが効く。$G\equiv\sum_k E_k^{\dagger} E_k$ とおくと、仮定は $\operatorname{tr}[(G-\mathbf{1})\rho]=0$（任意の $\rho$）であり、特に $\rho=\left|\psi\right\rangle\!\left\langle \psi\right|$ を選べば $\left\langle \psi\right|(G-\mathbf{1})\left|\psi\right\rangle =0$ がすべての $\left|\psi\right\rangle$ で成り立つ。Hermite 演算子の二次形式が恒等的に零ならその演算子自身が零だから、$G=\mathbf{1}$ と結論できる。つまりトレースに関するスカラーの等式が、「任意の入力で成立」という条件を介して演算子の恒等式へ格上げされている。

測定により過程の追加情報が得られる場合には、$\sum_k E_k^{\dagger} E_k\le\mathbf{1}$ を満たす非トレース保存の量子操作も許される。(3.6) で $\sum_k E_k^{\dagger} E_k\le\mathbf{1}$ を満たすものが量子操作の第二の定義であり、第一の定義より少しだけ一般的（非トレース保存を含む）である。

物理的解釈

★★　雑音量子チャネル＝確率的な状態置換という読み替え

ユニタリ $U$ の後、環境を基底 $\{\left|e_k\right\rangle \}$ で測定したと想像する（暗黙測定の原理により、これは主系の状態を変えない）。結果 $k$ が得られた条件下での主系の状態とその確率は

$$\rho_k=\frac{E_k\rho E_k^{\dagger}}{\operatorname{tr}(E_k\rho E_k^{\dagger})},\qquad p(k)=\operatorname{tr}(E_k\rho E_k^{\dagger}),$$

であり、

$$\mathcal{E}(\rho)=\sum_k p(k)\rho_k=\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger} .$$

すなわち量子操作とは、確率 $\operatorname{tr}(E_k\rho E_k^{\dagger})$ で状態を $E_k\rho E_k^{\dagger}/\operatorname{tr}(\cdots)$ にランダムに置き換える操作にほかならない。古典情報理論の雑音通信路との類比から、ノイズを表す量子操作を雑音量子チャネルとも呼ぶ。

任意の演算子和表現に対する系–環境モデル（逆向きの構成）

★★　視点I・IIの逆向きの構成。$\{E_k\}$ を実現するユニタリの存在証明

逆に、与えられた $\{E_k\}$（$\sum_k E_k^{\dagger} E_k=\mathbf{1}$）に対して、それを実現する環境とユニタリが存在するか。答えは肯定的である。$\{\left|e_k\right\rangle \}$ を環境の正規直交基底とし、

$$U\left|\psi\right\rangle \left|e_0\right\rangle \equiv\sum_k E_k\left|\psi\right\rangle \left|e_k\right\rangle\tag{3.10}$$

で $U$ を部分的に定義する。任意の $\left|\psi\right\rangle ,\left|\varphi\right\rangle$ に対し

$$\left\langle \psi\right|\left\langle e_0\right|U^{\dagger} U\left|\varphi\right\rangle \left|e_0\right\rangle =\sum_k\left\langle \psi\right|E_k^{\dagger} E_k\left|\varphi\right\rangle =\left\langle \psi\middle|\varphi\right\rangle$$

が完全性関係から従う。すなわち $U$ は内積を保つので、合成系全体のユニタリに拡張できる。このとき $\operatorname{tr}_{\mathrm{env}}\bigl(U(\rho\otimes\left|e_0\right\rangle\!\left\langle e_0\right|)U^{\dagger}\bigr)=\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger}$ となり、所望の量子操作が実現される。

ブロック行列による見方（Box 8.1）

★　$U$ の第一ブロック列が $\{E_k\}$ を決める、という補助的な見方$E_k=\left\langle e_k\right|U\left|e_0\right\rangle$ という関係は、$U$ を環境基底でブロック行列表示したときの第一ブロック列が $\{E_k\}$ で決まることを意味する。残りの列は $U$ がユニタリになるように自由に選べばよい。

$$U=\begin{pmatrix} [E_0] & * & \cdots\\ [E_1] & * & \cdots\\ \vdots & & \ddots\end{pmatrix}.$$

非トレース保存の場合は、追加の操作要素 $E_\infty$ を導入して $\sum_k E_k^{\dagger} E_k+E_\infty^{\dagger} E_\infty=\mathbf{1}$となるよう補えば、同様に構成できる（演習 8.8）。

視点 III：公理論的アプローチ

★★★　A1–A3、とくに完全正値性（A3）。三視点の等価性（定理 3.1）の要

最も抽象的だが最も一般的な視点として、量子操作が満たすべき物理的公理から出発する。$\mathcal{E}$ を入力空間 $Q_1$ の密度演算子から出力空間 $Q_2$ の密度演算子への写像とし、次の三公理を課す（記述の簡単のため $Q_1=Q_2=Q$ とする）。

• A1（確率としてのトレース） $\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$ は、初期状態 $\rho$ に対して過程 $\mathcal{E}$ が起きる確率を表す。ゆえに任意の状態 $\rho$ に対し $0\le\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]\le1$。
• A2（凸線形性） 確率 $\{p_i\}$ に対し

$$\mathcal{E}\Bigl(\sum_i p_i\rho_i\Bigr)=\sum_i p_i\,\mathcal{E}(\rho_i).$$

• A3（完全正値性, complete positivity） 任意の正値演算子 $A$ に対し $\mathcal{E}(A)$ は正値。さらに任意次元の補助系 $R$ を導入したとき、$RQ_1$ 上の任意の正値演算子 $A$ に対し$(\mathcal{I}\otimes\mathcal{E})(A)$ も正値（$\mathcal{I}$ は $R$ 上の恒等写像）。

各公理の物理的意味

★★　A3が単なる正値性でなく完全正値性である理由（転置写像の反例）A1 は測定を扱うための便宜で、トレースを過程の確率と同一視する。決定論的（測定を伴わない）過程では$\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]=1=\operatorname{tr}(\rho)$ となりトレース保存に帰着する。正規化された最終状態は $\mathcal{E}(\rho)/\operatorname{tr}[\mathcal{E}(\rho)]$。

A2 は、入力が集団 $\{p_i,\rho_i\}$ からのランダム選択であるとき、出力もまた対応する集団からのランダム選択であるべき、という要請から Bayes の定理を用いて導かれる。

A3 が単なる正値性でなく完全正値性であることが本質的である。次の箱で理由を見る。

三視点の等価性

★★★　公理・演算子和表現・系–環境モデルが同値であることを示す本稿の中心定理

証明の概略

（$\Leftarrow$ 演算子和表現 $\Rightarrow$ 公理）　 (3.13) の形なら $\mathcal{E}$ は明らかに線形なので、完全正値性のみ示せばよい。拡張系 $RQ$ 上の任意の正値演算子 $A$ と状態 $\left|\psi\right\rangle$ に対し、$\left|\varphi_i\right\rangle \equiv(\mathbf{1}_R\otimes E_i^{\dagger})\left|\psi\right\rangle$とおくと

$$\left\langle \psi\right|(\mathcal{I}\otimes\mathcal{E})(A)\left|\psi\right\rangle =\sum_i\left\langle \varphi_i\right|A\left|\varphi_i\right\rangle \ge0$$

が $A$ の正値性から従う。よって $(\mathcal{I}\otimes\mathcal{E})(A)\ge0$、すなわち完全正値。$\sum_i E_i^{\dagger} E_i\le\mathbf{1}$ は確率が $1$ を超えないこと（A1）を保証する。

（$\Rightarrow$ 公理 $\Rightarrow$ 演算子和表現）　 $Q$ と同次元の補助系 $R$ を用意し、最大もつれ状態（規格化前）

$$\left|\alpha\right\rangle \equiv\sum_i\left|i_R\right\rangle \left|i_Q\right\rangle$$

を導入する。$\sigma\equiv(\mathcal{I}_R\otimes\mathcal{E})(\left|\alpha\right\rangle\!\left\langle \alpha\right|)$ とおくと、驚くべきことに $\sigma$ は$\mathcal{E}$ を完全に決定する（Choi–Jamiołkowski 同型の核心）。任意の $\left|\psi\right\rangle =\sum_j\psi_j\left|j_Q\right\rangle$ に対し $\left|\tilde\psi\right\rangle \equiv\sum_j\psi_j^*\left|j_R\right\rangle$ を定義すると

$$\left\langle \tilde\psi\right|\sigma\left|\tilde\psi\right\rangle =\sum_{ij}\psi_i\psi_j^*\,\mathcal{E}(\left|i_Q\right\rangle\!\left\langle j_Q\right|) =\mathcal{E}(\left|\psi\right\rangle\!\left\langle \psi\right|).$$

$\sigma=\sum_i\left|s_i\right\rangle\!\left\langle s_i\right|$ を（規格化不要の）分解とし、$E_i\left|\psi\right\rangle \equiv\left\langle \tilde\psi\middle|s_i\right\rangle$で線形演算子 $E_i$ を定めると、

$$\sum_i E_i\left|\psi\right\rangle\!\left\langle \psi\right| E_i^{\dagger} =\sum_i\left\langle \tilde\psi\middle|s_i\right\rangle \left\langle s_i\middle|\tilde\psi\right\rangle =\left\langle \tilde\psi\right|\sigma\left|\tilde\psi\right\rangle =\mathcal{E}(\left|\psi\right\rangle\!\left\langle \psi\right|).$$

すべての純粋状態で成り立つから、凸線形性（A2）により一般の $\rho$ で$\mathcal{E}(\rho)=\sum_i E_i\rho E_i^{\dagger}$。条件 $\sum_i E_i^{\dagger} E_i\le\mathbf{1}$ は A1 から従う。

演算子和表現の自由度

★★　操作要素のユニタリ自由度。量子誤り訂正の理解にも直結する

演算子和表現は一意ではない。例として

$$E_1=\frac{\mathbf{1}}{\sqrt2},\quad E_2=\frac{Z}{\sqrt2} \qquad\text{と}\qquad F_1=\left|0\right\rangle\!\left\langle 0\right|,\quad F_2=\left|1\right\rangle\!\left\langle 1\right|$$

は、見かけは全く異なる（前者はコイン投げで $\mathbf{1}$ か $Z$ を作用、後者は $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$ 基底での結果未知の射影測定）が、$F_1=(E_1+E_2)/\sqrt2,\ F_2=(E_1-E_2)/\sqrt2$ の関係から同一の量子操作を与える。物理的に異なる過程が同じ系の力学を与えうるのである。

証明の要点

鍵は次の結果である：二組のベクトル $\{\left|\psi_i\right\rangle \}$ と $\{\left|\varphi_j\right\rangle \}$ が同一の演算子を生成すること、すなわち

$$\sum_i\left|\psi_i\right\rangle\!\left\langle \psi_i\right|=\sum_j\left|\varphi_j\right\rangle\!\left\langle \varphi_j\right|$$

が成り立つことと、あるユニタリ行列 $u_{ij}$ により$\left|\psi_i\right\rangle =\sum_j u_{ij}\left|\varphi_j\right\rangle$ と結ばれることは同値である。$\left|e_i\right\rangle \equiv\sum_k\left|k_R\right\rangle \bigl(E_i\left|k_Q\right\rangle \bigr)$、$\left|f_j\right\rangle \equiv\sum_k\left|k_R\right\rangle \bigl(F_j\left|k_Q\right\rangle \bigr)$ と定めると、$\mathcal{E}=\mathcal{F}$ は $\sigma=\sum_i\left|e_i\right\rangle\!\left\langle e_i\right|=\sum_j\left|f_j\right\rangle\!\left\langle f_j\right|$ を意味する。よってユニタリ $u_{ij}$ が存在して $\left|e_i\right\rangle =\sum_j u_{ij}\left|f_j\right\rangle$ となり、$E_i\left|\psi\right\rangle =\left\langle \tilde\psi\middle|e_i\right\rangle =\sum_j u_{ij}F_j\left|\psi\right\rangle$ から結論を得る。逆は直接計算で確かめられる。

この自由度は、物理的には「相互作用 $U$ の後に環境だけに追加ユニタリ $U'$ を作用させても主系の力学は変わらない」ことに対応し、$F_k=\sum_j U'_{kj}E_j$ という形で現れる。量子誤り訂正の理解にも本質的である。

証明の方針（演習 8.10）

操作要素 $\{E_j\}$ に対し Gram 型行列 $W_{jk}\equiv\operatorname{tr}(E_j^{\dagger} E_k)$ を作る。$W$ は Hermite かつ階数高々 $d^2$（$E_j$ は $d\times d$ 行列＝ $d^2$ 次元のベクトルとみなせるため）。$W$ を対角化するユニタリ $u$ をとり、$F_j=\sum_k (u^*)_{jk}E_k$ と定義すると、零でない $F_j$ は高々 $d^2$ 個になり、かつ定理 3.2 により同じ量子操作を与える。