量子ノイズと量子操作の例

量子情報入門　第3章 §3.4　★★ 三定式化を具体的なチャネルへ橋渡しする節。以降の代表例が本稿の応用の核

トレースと部分トレース

★　定理 3.1 の使用例としての確認。トレース・部分トレースが量子操作であること

最も基本的な測定関連の操作はトレース写像 $\rho\to\operatorname{tr}(\rho)$ である。$d$ 次元入力空間に対し1次元出力空間 $\left|0\right\rangle$ をとり、$\mathcal{E}(\rho)\equiv\sum_{i=1}^d\left|0\right\rangle\!\left\langle i\right|\rho\left|i\right\rangle\!\left\langle 0\right|=\operatorname{tr}(\rho)\left|0\right\rangle\!\left\langle 0\right|$と定めれば、定理 3.1 よりこれは量子操作で、$\left|0\right\rangle\!\left\langle 0\right|$ 倍を除けばトレースに等しい。

部分トレースも量子操作である。合成系 $QR$ で $R$ をトレースアウトする場合、$E_i\bigl(\sum_j\lambda_j\left|q_j\right\rangle \left|j\right\rangle \bigr)\equiv\lambda_i\left|q_i\right\rangle$ で操作要素を定め、$\mathcal{E}(\rho)\equiv\sum_i E_i\rho E_i^{\dagger}$ とすると $\mathcal{E}(\rho\otimes\left|j\right\rangle\!\left\langle j'\right|)=\rho\,\delta_{jj'}=\operatorname{tr}_R(\rho\otimes\left|j\right\rangle\!\left\langle j'\right|)$となり、線形性から $\mathcal{E}=\operatorname{tr}_R$。

単一量子ビット量子操作の幾何学的描像

★★★　Bloch ベクトルのアフィン写像。以降の全チャネルの共通言語

単一量子ビットの状態は Bloch 表示 $\rho=(\mathbf{1}+\vec r\cdot\vec\sigma)/2$ で表せる。任意のトレース保存量子操作は、Bloch ベクトルに対するアフィン写像

$$\vec r \ \xrightarrow{\ \mathcal{E}\ }\ \vec r' = M\vec r+\vec c\tag{3.21}$$

に等価である（$M$ は $3\times3$ 実行列、$\vec c$ は定ベクトル）。操作要素を$E_i=\alpha_i\mathbf{1}+\sum_k a_{ik}\sigma_k$ と展開すれば、$M,\vec c$ の成分は

$$\begin{align*}M_{jk}&=\sum_l\Bigl[a_{lj}a_{lk}^*+a_{lj}^*a_{lk} +\bigl(|\alpha_l|^2-\textstyle\sum_p a_{lp}a_{lp}^*\bigr)\delta_{jk}\\&\hphantom{=\sum_l\Bigl[} +i\sum_p \epsilon_{jkp}(\alpha_l a_{lp}^*-\alpha_l^* a_{lp})\Bigr],\\c_k&=2i\sum_l\sum_{jp}\epsilon_{jpk}\,a_{lj}a_{lp}^*,\end{align*}$$

で与えられる（完全性関係を用いて整理）。極分解 $M=O S$（$O$ は固有回転、$S$ は実対称行列）により、(3.21) は「$S$ による主軸方向の変形 $\to$ $O$ による回転 $\to$ $\vec c$ による平行移動」と読める。この描像は単一量子ビットのノイズの直観を与える強力な道具である。

ビット反転・位相反転・ビット位相反転チャネル

★★　Pauli 型の標準的なノイズチャネル3種。位相反転は§4.6の位相減衰と同一物

• ビット反転：$E_0=\sqrt p\,\mathbf{1},\quad E_1=\sqrt{1-p}\,X$。Bloch 球で $\hat x$ 軸は不変、$\hat y$–$\hat z$ 面が因子 $|1-2p|$ で一様収縮（点ごとの写像としては $2p-1$ 倍。$p<1/2$ では向きの反転を伴うが、球の像は対称なので収縮率だけが見える）。
• 位相反転：$E_0=\sqrt p\,\mathbf{1},\quad E_1=\sqrt{1-p}\,Z$。$\hat z$ 軸が不変、$\hat x$–$\hat y$ 面が $|1-2p|$ で収縮（図 3.2 左）。
• ビット位相反転：$E_0=\sqrt p\,\mathbf{1},\quad E_1=\sqrt{1-p}\,Y$（$Y=iXZ$）。$\hat y$ 軸が不変。

位相反転で $p=1/2$ ととると、自由度を使って $\mathcal{E}(\rho)=P_0\rho P_0+P_1\rho P_1$ と書け、$\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$ 基底での結果未知の測定に対応する。Bloch 球上では$(r_x,r_y,r_z)\to(0,0,r_z)$（$z$ 軸への射影）。

脱分極チャネル

★★★　最も基本的なノイズチャネル。$\mathbf{1}/2$ への一様な混合。Bloch 球が一様収縮する標準例

確率 $p$ で完全混合状態 $\mathbf{1}/2$ に置換され、確率 $1-p$ で不変、という過程：

$$\mathcal{E}(\rho)=\frac{p}{2}\mathbf{1}+(1-p)\rho.$$

恒等式 $\mathbf{1}/2=(\rho+X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z)/4$ を代入すると演算子和表現

$$\mathcal{E}(\rho)=\Bigl(1-\tfrac{3p}{4}\Bigr)\rho+\frac{p}{4}\bigl(X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z\bigr)$$

が得られ、操作要素は $\{\sqrt{1-3p/4}\,\mathbf{1},\ \tfrac{\sqrt p}{2}X,\ \tfrac{\sqrt p}{2}Y,\ \tfrac{\sqrt p}{2}Z\}$。別パラメータ化 $\mathcal{E}(\rho)=(1-p)\rho+\tfrac{p}{3}(X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z)$ では、確率 $p/3$ ずつで $X,Y,Z$ が作用すると解釈できる。Bloch 球は一様に収縮する。$d$ 次元への一般化は $\mathcal{E}(\rho)=p\,\mathbf{1}/d+(1-p)\rho$。

振幅減衰

★★★　$T_1$ 緩和の量子操作。北極 $\left|0\right\rangle$ へ流れる非ユニタルな標準チャネル

エネルギー散逸（自然放出、スピン緩和、光子の散乱・減衰）を記述する重要なチャネル。単一光学モード $a\left|0\right\rangle +b\left|1\right\rangle$ にビームスプリッタ $B=\exp[\theta(a^{\dagger} b-ab^{\dagger})]$ を挿入して環境（真空）と結合させ、環境をトレースアウトすると

$$\mathcal{E}_{\mathrm{AD}}(\rho)=E_0\rho E_0^{\dagger}+E_1\rho E_1^{\dagger},\qquad E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\ E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix},$$

ここで $\gamma=\sin^2\theta$ は光子を失う確率。$E_1$ は $\left|1\right\rangle \to\left|0\right\rangle$ の遷移（エネルギー喪失）を表し、$E_0$ は $\left|0\right\rangle$ を保ちつつ $\left|1\right\rangle$ の振幅を減らす（環境に光子が漏れなかったという情報が、系が $\left|0\right\rangle$である確率を上げる）。$E_0,E_1$ の線形結合で恒等演算子に比例するものは作れない点に注意。

一般の状態 $\rho=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\b^*&c\end{smallmatrix}\right)$ に対しては

$$\mathcal{E}_{\mathrm{AD}}(\rho)= \begin{pmatrix}1-(1-\gamma)(1-a) & b\sqrt{1-\gamma}\\ b^*\sqrt{1-\gamma} & c(1-\gamma)\end{pmatrix}.$$

Bloch ベクトル変換は

$$(r_x,r_y,r_z)\to\bigl(r_x\sqrt{1-\gamma},\ r_y\sqrt{1-\gamma},\ \gamma+r_z(1-\gamma)\bigr),$$

であり、$\gamma=1-e^{-t/T_1}$ とおけば、全ての点を北極 $\left|0\right\rangle$ へ流すフローとなる（$T_1$ 緩和）。

有限温度への一般化（GAD）

★　有限温度浴への拡張。NMR で重要だが本稿の主筋からは発展零温度の真空ではなく有限温度の浴に結合する場合は一般化振幅減衰となり、操作要素は$E_0=\sqrt p\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{smallmatrix}\right)$, $E_1=\sqrt p\left(\begin{smallmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{smallmatrix}\right)$, $E_2=\sqrt{1-p}\left(\begin{smallmatrix}\sqrt{1-\gamma}&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)$, $E_3=\sqrt{1-p}\left(\begin{smallmatrix}0&0\\\sqrt\gamma&0\end{smallmatrix}\right)$で、定常状態 $\rho_\infty=\mathrm{diag}(p,1-p)$ をもつ。これはスピン–格子（$T_1$）緩和に対応し、NMR 量子計算で重要である。

位相減衰：純粋に量子的なノイズ

★★★　$T_2$ 緩和の量子操作。エネルギーを保ちコヒーレンスだけを壊す、純粋に量子的なノイズの標準例

位相減衰は、エネルギーを失わずに量子情報（位相情報）を失う、純粋に量子力学的な過程である。ランダムな位相回転 $R_z(\theta)$（平均 $0$・分散 $2\lambda$ の Gauss 分布）の平均をとると、

$$\rho=\frac{1}{\sqrt{4\pi\lambda}}\int_{-\infty}^{\infty}R_z(\theta)\left|\psi\right\rangle\!\left\langle \psi\right| R_z^{\dagger}(\theta)\, e^{-\theta^2/4\lambda}\,d\theta =\begin{pmatrix}|a|^2 & ab^* e^{-\lambda}\\ a^*b\,e^{-\lambda} & |b|^2\end{pmatrix},$$

すなわち非対角成分（コヒーレンス）が指数的に減衰する。調和振動子間相互作用$H=\chi a^{\dagger} a(b+b^{\dagger})$ から導くと、操作要素は

$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\lambda}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&0\\0&\sqrt\lambda\end{pmatrix}.$$

ここでユニタリ自由度（定理 3.2）を用いて再結合すると、

$$\tilde E_0=\sqrt\alpha\,\mathbf{1},\qquad \tilde E_1=\sqrt{1-\alpha}\,Z,\qquad \alpha=\frac{1+\sqrt{1-\lambda}}{2},$$

となり、位相減衰は位相反転チャネルと厳密に同一であることがわかる。Bloch 変換は$(r_x,r_y,r_z)\to(r_x\sqrt{1-\lambda},\,r_y\sqrt{1-\lambda},\,r_z)$ で、$T_2$（スピン–スピン）緩和に対応（$e^{-t/2T_2}=\sqrt{1-\lambda}$；ただし $T_1,T_2$ の定義は文献間で因子 $2$ の違いがあるので注意。規約の整理と緩和率の定量的な関係は §3.5.2 で行う）。

ユニタリティ（演習 8.29）

★　ユニタルの定義。既出チャネルの分類語量子過程 $\mathcal{E}$ が $\mathcal{E}(\mathbf{1})=\mathbf{1}$ を満たすときユニタルという。脱分極・位相減衰はユニタルだが、振幅減衰はユニタルでない（北極へ流れるため）。