量子操作の応用

量子情報入門　第3章 §3.5　★★ 量子操作形式論を連続時間発展・実験（プロセストモグラフィ）と結びつける節

マスター方程式（Lindblad 形式）

★★★　Lindblad 方程式。物理学者が最も多用する連続時間の開放系記述

物理学者が最も多用する連続時間記述がマスター方程式で、最も一般には Lindblad 形式

$$\frac{d\rho}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho] +\sum_j\Bigl(2L_j\rho L_j^{\dagger}-\{L_j^{\dagger} L_j,\rho\}\Bigr)\tag{3.32}$$

で書ける。$H$ はコヒーレントな発展を司る系の Hamiltonian、$L_j$ は環境との結合を表すLindblad 演算子である。この形は過程が完全正値となるために要請される。通常は系–環境モデル Hamiltonian から出発し、Born 近似と Markov 近似を行って $L_j$ を決める。(3.32) は常に $\operatorname{tr}[\rho(t)]=1$ を保つ。

例：自然放出する二準位原子

★★　Lindblad 方程式を解くと振幅減衰チャネルに一致することを示す具体例$H=-\hbar\omega\sigma_z/2$、$L=\sqrt\gamma\,\sigma_-$（$\sigma_-=\left|0\right\rangle\!\left\langle 1\right|$、$\gamma$ は放出率）とすると、相互作用表示に移って Bloch ベクトルの方程式を解くと

$$\lambda_x=\lambda_x(0)e^{-\gamma t},\quad \lambda_y=\lambda_y(0)e^{-\gamma t},\quad \lambda_z=\lambda_z(0)e^{-2\gamma t}+1-e^{-2\gamma t}.$$

$\gamma'\equiv1-e^{-2\gamma t}$ とおけば、この発展は演算子和表現

$$E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma'}\end{pmatrix},\qquad E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt{\gamma'}\\0&0\end{pmatrix}$$

で表され、まさに振幅減衰に一致する。

二形式論の関係

★★　量子操作形式論がマスター方程式より広い（非 Markov も含む）という位置づけマスター方程式を解けば $\rho(t)=\sum_k E_k(t)\rho(0)E_k^{\dagger}(t)$ という時間依存の演算子和表現が得られる。逆は一般には成り立たない：演算子和表現は非 Markovな力学も記述できる（状態変化だけを扱い、連続時間発展を仮定しないため）。すなわちマスター方程式は量子操作形式論より狭い。

Bloch 方程式と $T_1$・$T_2$ 緩和

★★★　$\Gamma_2=\Gamma_1/2+\Gamma_\phi$（振幅減衰＋位相減衰の合成）。実験と直結する定量関係

NMR で現象論的に導入される Bloch 方程式（緩和項のみ、回転系）は

$$\frac{dM_z}{dt}=-\frac{M_z-M_0}{T_1},\qquad \frac{dM_{x,y}}{dt}=-\frac{M_{x,y}}{T_2},$$

であった。本節では規約を固定する：$T_1,T_2$ は時間の次元をもち、対角成分（占有数）の平衡からの偏差が $e^{-\Gamma_1 t}$（$\Gamma_1\equiv1/T_1$）、非対角成分（コヒーレンス）が $e^{-\Gamma_2 t}$（$\Gamma_2\equiv1/T_2$）で減衰する（標準的な NMR の規約）。

この方程式は、振幅減衰と位相減衰の合成にほかならない。両者の Bloch 写像は可換であり（$z$ 成分には位相減衰が作用しないため、順序に依らない）、合成は

$$(r_x,r_y,r_z)\ \longrightarrow\ \Bigl(\sqrt{1-\gamma}\sqrt{1-\lambda}\;r_x,\ \sqrt{1-\gamma}\sqrt{1-\lambda}\;r_y,\ \gamma+(1-\gamma)r_z\Bigr).$$

ここで減衰パラメータを時間の関数として

$$\gamma(t)=1-e^{-\Gamma_1 t},\qquad \lambda(t)=1-e^{-2\Gamma_\phi t}$$

とおく（$\Gamma_\phi$：純位相緩和率）。すると縦・横成分はそれぞれ

$$r_z(t)-1=e^{-\Gamma_1 t}\bigl(r_z(0)-1\bigr),\qquad r_{x,y}(t)=e^{-(\Gamma_1/2+\Gamma_\phi)t}\,r_{x,y}(0)$$

となり（$\sqrt{1-\gamma}=e^{-\Gamma_1 t/2}$、$\sqrt{1-\lambda}=e^{-\Gamma_\phi t}$）、Bloch 方程式が定常状態を北極（$\left|0\right\rangle$、$M_0$ に対応）とする形で再現される。横緩和率を読み取ると

$$\boxed{\ \Gamma_2=\frac{\Gamma_1}{2}+\Gamma_\phi \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{T_2}=\frac{1}{2T_1}+\frac{1}{T_\phi}\ }\tag{3.39}$$

（$T_\phi\equiv1/\Gamma_\phi$）。$\Gamma_\phi\ge0$ より直ちに

$$T_2\le 2T_1,$$

等号は位相減衰が無いとき。すなわちエネルギー緩和は必然的にコヒーレンスも壊すがその率は半分であり（純粋振幅減衰で $T_2=2T_1$）、位相減衰はエネルギーを保ったまま$T_2$ だけをさらに短くする（図 3.3）。

Markov 性との関係

★　Bloch 方程式の形自体が弱結合・Markov 近似の帰結であるという背景指数減衰・時間局所（過去の履歴に依らない）という Bloch 方程式の形そのものが、弱結合・Markov 近似の帰結である。すなわち系–環境結合が摂動的で、環境の相関時間$\tau_c$ が $T_1,T_2$ より十分短いときに正当化される。微視的にはこの極限でRedfield 理論が $\Gamma_1\propto J(\omega_0)$（共鳴周波数でのゆらぎのスペクトル密度：エネルギーを伴う遷移）、$\Gamma_\phi\propto J(0)$（ゼロ周波数成分：エネルギーを伴わない位相のゆらぎ）を与え、振幅減衰と位相減衰の役割分担が微視的にも裏づけられる。環境の記憶が無視できない強結合領域ではこの形は破れ、非 Markov な取り扱い（前項で述べたように、量子操作形式論はこれを含む）が必要になる。

量子プロセストモグラフィ

★　理論を実験と結びつける手続き。数式は具体的だが実験技術としては本稿の主筋から外れる

量子操作という数学的モデルを、実験で測定可能な量とどう結びつけるか。その手続きが量子プロセストモグラフィ（古典制御理論のシステム同定に対応）である。前提として量子状態トモグラフィがある：未知の単一量子ビット状態 $\rho$ は、多数のコピーに対し$X,Y,Z$ の期待値を測定することで

$$\rho=\frac{\operatorname{tr}(\rho)\mathbf{1}+\operatorname{tr}(X\rho)X+\operatorname{tr}(Y\rho)Y+\operatorname{tr}(Z\rho)Z}{2}$$

として推定できる（$n$ 量子ビットなら Pauli 積の期待値で展開）。

$\chi$ 行列表現

★★　固定基底での $\chi$ 行列。量子操作を完全に記述する正値 Hermite 行列固定された演算子基底 $\{\tilde E_m\}$ を選び $E_i=\sum_m e_{im}\tilde E_m$ と展開すると、

$$\mathcal{E}(\rho)=\sum_{mn}\tilde E_m\rho\tilde E_n^{\dagger}\,\chi_{mn},\qquad \chi_{mn}\equiv\sum_i e_{im}e_{in}^* .\tag{3.42}$$

$\chi$ は定義から正値 Hermite 行列で、固定基底を選べば量子操作を完全に記述する。$d$ 次元系では $\chi$ は $d^4-d^2$ 個の独立実パラメータをもつ（一般線形写像の $d^4$ から、完全性関係 $\sum_i E_i^{\dagger} E_i=\mathbf{1}$ による $d^2$ 制約を引く）。

実験手続き

★　$\chi$ を決めるための状態準備・状態トモグラフィの具体的手順$d\times d$ 行列空間の線形独立基底 $\{\rho_j\}_{j=1}^{d^2}$（便利なのは $\left|n\right\rangle\!\left\langle m\right|$ 型）を選ぶ。入力 $\left|n\right\rangle ,\left|m\right\rangle ,(\left|n\right\rangle +\left|m\right\rangle )/\sqrt2,(\left|n\right\rangle +i\left|m\right\rangle )/\sqrt2$ を準備し、それぞれの出力を状態トモグラフィで測ることで $\mathcal{E}(\left|n\right\rangle\!\left\langle m\right|)$ が線形結合により決まる。各 $\mathcal{E}(\rho_j)$ を$\mathcal{E}(\rho_j)=\sum_k\lambda_{jk}\rho_k$ と展開し、また理論的に$\tilde E_m\rho_j\tilde E_n^{\dagger}=\sum_k\beta_{jk}^{mn}\rho_k$ と書けば、(3.42) と合わせて

$$\sum_{mn}\beta_{jk}^{mn}\chi_{mn}=\lambda_{jk}.$$

これを $\beta\vec\chi=\vec\lambda$ と見て、一般化逆 $\kappa$（$\beta\kappa\beta=\beta$）により$\vec\chi=\kappa\vec\lambda$ と解ける。最後に $\chi$ を対角化 $\chi_{mn}=\sum_{xy}U_{mx}d_x\delta_{xy}U_{ny}^*$すれば、操作要素 $E_i=\sqrt{d_i}\sum_j U_{ji}\tilde E_j$ が回復される。