定義と存在

定義 （ラプラス変換）

$t\ge0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を

$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)=\int_0^\infty f(t)\,\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t\qquad(s\in\mathbb{C})$$

で定める。$f$ が指数位数（$\left\vert f(t)\right\vert \le M\mathrm{e}^{\sigma t}$）なら $\operatorname{Re} s>\sigma$ で収束する。