基本性質（証明つき）

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第2章ラプラス変換

AI 生成・木下が未勉強

制御工学入門　第2章 §2.2

要点

主要な性質（ $\mathcal{L}[f]=F,\ \mathcal{L}[g]=G$ ）

$\begin{aligned}&\text{線形性：}\ \mathcal{L}[af+bg]=aF+bG,\\ &\text{微分：}\ \mathcal{L}[\dot f]=sF(s)-f(0),\quad \mathcal{L}[\ddot f]=s^2F-sf(0)-\dot f(0),\\ &\text{積分：}\ \mathcal{L}\Bigl[\textstyle\int_0^t f\,\mathop{}\!\mathrm{d}\tau\Bigr]=\frac{F(s)}{s},\\ &\text{時間推移：}\ \mathcal{L}[f(t-T)u(t-T)]=\mathrm{e}^{-Ts}F(s),\\ &{s}\text{ 推移：}\ \mathcal{L}[\mathrm{e}^{-at}f(t)]=F(s+a),\\ &\text{畳み込み：}\ \mathcal{L}[(f*g)]=F(s)G(s).\end{aligned}$

証明の筋

微分則のみ示す（最重要）。部分積分により

$\mathcal{L}[\dot f]=\int_0^\infty\dot f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t =\bigl[f(t)\mathrm{e}^{-st}\bigr]_0^\infty+s\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t =-f(0)+sF(s).$

（ $\operatorname{Re} s$ が十分大きく境界項が消えることを使った。）微分が「 $s$ を掛けて初期値を引く」に化けるのがラプラス変換の核心で、これで微分方程式が $s$ の代数方程式になる。畳み込み則は、第1章の「直列結合は積」の根拠でもある。□

要点

主要な変換対（ $u(t)$ は単位ステップ）

$f(t)$	$F(s)$	$f(t)$	$F(s)$
$\delta(t)$	$1$	$\mathrm{e}^{-at}$	$\dfrac{1}{s+a}$
$u(t)$	$\dfrac1s$	$\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$t$	$\dfrac{1}{s^2}$	$\cos\omega t$	$\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$
$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\mathrm{e}^{-at}\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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