tecktom.com

2次系と過渡特性

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第4章 時間応答と過渡特性

AI 生成・木下が未勉強

制御工学入門　第4章 §4.2

制御系の応答は多くが2次系で近似でき、制御工学の中心となる。

要点

標準2次系 G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}。減衰比 ζ\zeta と固有角周波数 ωn\omega_n で決まり、極は

s=−ζωn±jωn1−ζ2=−ζωn±jωd,ωd=ωn1−ζ2.s=-\zeta\omega_n\pm\mathrm{j}\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\zeta\omega_n\pm\mathrm{j}\omega_d,\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

ζ<1\zeta<1：減衰振動、ζ=1\zeta=1：臨界制動、ζ>1\zeta>1：過制動。

0<ζ<10<\zeta<1 の単位ステップ応答は

y(t)=1−e−ζωnt1−ζ2sin⁡(ωdt+ϕ),ϕ=arccos⁡ζ.y(t)=1-\frac{\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\bigl(\omega_d t+\phi\bigr), \quad \phi=\arccos\zeta.

この式から過渡特性が導かれる。

定義 （過渡特性）

  • 立ち上がり時間 trt_r：出力が最終値の 10%→90%10\%\to90\%（または 0→100%0\to100\%）に達する時間。速さの指標。
  • ピーク時間 tpt_p：最初の最大値に達する時間。tp=π/ωdt_p=\pi/\omega_d。
  • 行き過ぎ量（オーバーシュート） MpM_p：最大値が最終値をどれだけ超えるか（割合）。Mp=e−πζ/1−ζ2M_p=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}。
  • 整定時間 tst_s：出力が最終値の ±2%\pm2\%（または ±5%\pm5\%）内に収まる時間。ts≈4/(ζωn)t_s\approx4/(\zeta\omega_n)（2%2\%）。

気持ち

行き過ぎ量 MpM_p は「勢い余ってどれだけ目標を通り越すか」で、振動の激しさ＝減衰の悪さを測る。MpM_p は ζ\zeta だけで決まり（ωn\omega_n に依らない）、ζ\zeta が小さいほど大きい。使いどころは2次系設計で、「行き過ぎ ≤10%\le10\%」といった仕様から必要な ζ\zeta（≥0.59\ge0.59）を逆算する。一方 ωn\omega_n は応答の速さ（tr,tst_r,t_s は 1/ωn1/\omega_n に比例）を決める。「ζ\zeta で行き過ぎ、ωn\omega_n で速さ」と役割を分けて覚えるとよい。実用では ζ≈0.7\zeta\approx0.7 が速さと行き過ぎのバランス点とされる。

行き過ぎ量の導出

y˙=0\dot y=0 となる最初の時刻が tpt_p。y(t)y(t) を微分して整理すると sin⁡(ωdt)=0\sin(\omega_d t)=0 の最初の正根tp=π/ωdt_p=\pi/\omega_d。これを yy に代入すると

y(tp)=1+e−ζωn⋅π/ωd=1+e−πζ/1−ζ2,y(t_p)=1+\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n\cdot\pi/\omega_d}=1+\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}},

最終値 11 を引いて Mp=e−πζ/1−ζ2M_p=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}。整定時間は包絡線e−ζωnt/1−ζ2\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}/\sqrt{1-\zeta^2} が 0.020.02 に減衰する条件から ts≈4/(ζωn)t_s\approx4/(\zeta\omega_n)。（検算スクリプト で ζ=0.5⇒Mp=0.163\zeta=0.5\Rightarrow M_p=0.163、tp=π/ωdt_p=\pi/\omega_d、ts=4/ζωnt_s=4/\zeta\omega_n を確認。）□

例題 4.1（演習4.1（仕様から ζ,ωn\zeta,\omega_n を決める））

オリジナル2次系で行き過ぎ量を 16.3%16.3\% 以下、整定時間（2%2\%）を 2 s2\,\mathrm{s} 以下にしたい。ζ,ωn\zeta,\omega_n の条件を求めよ。

解答

Mp=e−πζ/1−ζ2≤0.163M_p=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\le0.163 より ζ≥0.5\zeta\ge0.5。ts=4/(ζωn)≤2t_s=4/(\zeta\omega_n)\le2 より ζωn≥2\zeta\omega_n\ge2。ζ=0.5\zeta=0.5 なら ωn≥4 rad/s\omega_n\ge4\,\mathrm{rad/s}。たとえば ζ=0.5,ωn=4\zeta=0.5,\omega_n=4 が仕様を満たす。極は s=−2±j 23s=-2\pm\mathrm{j}\,2\sqrt3。行き過ぎ量から ζ\zeta、整定時間から ζωn\zeta\omega_n（極の実部）が決まる、という設計の基本手順である。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『基礎理論』の記事一覧へ