Routh–Hurwitz の判別法

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5章安定性と Routh–Hurwitz の判別法

AI 生成・木下が未勉強

制御工学入門　第5章 §5.2

要点

特性方程式 $a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0=0$ （ $a_n>0$ ）について、必要条件は「全係数が正」。必要十分条件は「Routh 表の第1列がすべて正」。第1列の符号変化の回数 $=$ 右半面にある極の個数。

手順：Routh 表の作り方

係数を2行に交互に並べる： $s^n$ 行 $[a_n,a_{n-2},a_{n-4},\dots]$ 、 $s^{n-1}$ 行 $[a_{n-1},a_{n-3},\dots]$ 。
以降の各行を、直上2行から $\displaystyle b_i=\frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_na_{n-3}}{a_{n-1}}$ の型（ $2\times2$ 行列式を直上行の先頭で割り符号反転）で計算する。
$s^0$ 行まで作り、第1列の符号を見る。全部正なら安定。
（特殊ケース）第1列に $0$ が出たら微小 $\varepsilon$ で置換、行全体が $0$ なら直上行から補助多項式を作って微分し係数を補う。

例題 5.1（演習5.1（安定な範囲））

オリジナル $s^3+3s^2+2s+K=0$ が安定になる $K$ の範囲を Routh 表で求めよ。

解答

Routh 表：

$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\ s^2 & 3 & K\\ s^1 & \dfrac{3\cdot2-1\cdot K}{3}=\dfrac{6-K}{3} & 0\\ s^0 & K & \end{array}$

第1列 $1,3,\dfrac{6-K}{3},K$ がすべて正である条件は $6-K>0$ かつ $K>0$ 、すなわち

$0<K<6.$

（検算スクリプトで3次の安定・不安定例を確認。） $K=6$ で $s^1$ 行が $0$ になり虚軸上に極が移って持続振動（限界安定）、 $K>6$ で第1列に符号変化が1回でき不安定になる。

例題 5.2（演習5.2（不安定極の個数））

オリジナル $s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0$ の右半面の極の個数を Routh 表で求めよ。

解答

$\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 3 & 5\\ s^3 & 2 & 4 & 0\\ s^2 & \dfrac{2\cdot3-1\cdot4}{2}=1 & 5 & \\ s^1 & \dfrac{1\cdot4-2\cdot5}{1}=-6 & 0 & \\ s^0 & 5 & & \end{array}$

第1列 $1,2,1,-6,5$ 。符号は $+,+,+,-,+$ で符号変化が2回（ $+\to-$ と $-\to+$ ）。よって右半面の極が2個あり不安定。（検算スクリプトで確認。）全係数が正でも安定とは限らない好例で、必要条件（係数正）は十分でないことがわかる。

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