定常偏差

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第6章定常偏差・システムの型・感度

AI 生成・木下が未勉強

制御工学入門　第6章 §6.1

定義（定常偏差）

目標値 $r(t)$ と出力 $y(t)$ の差 $e(t)=r(t)-y(t)$ の、時間が十分たった後の値

$e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)$

を定常偏差という。追従の正確さを表す。

これを逆変換せずに求めるのが最終値の定理である。

要点

最終値の定理。 $sF(s)$ の極がすべて左半面（虚軸含まず）にあるとき

$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s).$

証明の筋

微分則 $\mathcal{L}[\dot f]=sF(s)-f(0)=\int_0^\infty\dot f\,\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ で $s\to0$ をとると、右辺 $\to\int_0^\infty\dot f\,\mathop{}\!\mathrm{d} t=f(\infty)-f(0)$ 。左辺 $\to\lim_{s\to0}sF(s)-f(0)$ 。両辺を比べて $f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ 。（極が左半面にあり $f(\infty)$ が存在することが前提。）□

単位フィードバック系で $E(s)=\dfrac{1}{1+L(s)}R(s)$ だから、

$e_{ss}=\lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1+L(s)}.$

定義（システムの型と誤差定数）

開ループ $L(s)$ が原点にもつ極の数 $N$ を型（type）という（ $L(s)=\dfrac{K\prod(1+T_bs)}{s^N\prod(1+T_as)}$ ）。定常偏差は次の誤差定数で決まる：

$\text{位置定数 }K_p=\lim_{s\to0}L(s),\quad \text{速度定数 }K_v=\lim_{s\to0}sL(s),\quad \text{加速度定数 }K_a=\lim_{s\to0}s^2L(s).$

要点

型と定常偏差の対応表

入力 $\backslash$ 型	0型	1型	2型
ステップ $1/s$	$\dfrac{1}{1+K_p}$	$0$	$0$
ランプ $1/s^2$	$\infty$	$\dfrac{1}{K_v}$	$0$
加速度 $1/s^3$	$\infty$	$\infty$	$\dfrac{1}{K_a}$

気持ち

定常偏差の勘所は「積分器（ $1/s$ ）を何個もつか」に尽きる。積分器は誤差を溜め込んで出力に反映するので、誤差が残っている限り操作量を増やし続け、最終的に誤差を $0$ にする。だから1型（積分器1個）はステップ目標に定常偏差 $0$ 、2型はランプ目標まで $0$ にできる。使いどころは、「位置決めで残留誤差を消したい $\to$ 積分器を足す（PID の I）」という設計判断。ただし積分器は位相を $-90^\circ$ 遅らせるので安定余裕を食う（第9章）。正確さ（型）と安定性のトレードオフが制御設計の核心である。

例題 6.1（演習6.1（型と定常偏差））

オリジナル $L(s)=\dfrac{10}{s(s+2)}$ の単位フィードバック系で、単位ステップ・単位ランプに対する定常偏差を求めよ。

解答

$L$ は原点に極1個なので1型。ステップ： $e_{ss}=0$ （1型はステップに定常偏差 $0$ ）。ランプ： $K_v=\lim_{s\to0}sL(s)=\dfrac{10}{2}=5$ 、 $e_{ss}=1/K_v=0.2$ 。（1型はランプに一定の偏差、加速度入力には追従不能で $\infty$ 。）残留偏差 $0.2$ を減らすにはゲイン $K$ を上げる（ $K_v$ を上げる）か、積分器を足して2型にすればよい。

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