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ボード線図

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7章 周波数応答とボード線図

AI 生成・木下が未勉強

制御工学入門　第7章 §7.2

定義 （ボード線図）

G(jω)G(\mathrm{j}\omega) のゲイン 20log⁡10∣G∣20\log_{10}\left\vert G\right\vert [dB] と位相 ∠G\angle G [度] を、横軸 log⁡10ω\log_{10}\omega に対して別々に描いた2枚組の図。

ボード線図の威力は、積が和になること（log⁡\log をとるため）。G=G1G2G=G_1G_2 ならゲイン [dB] も位相も足し算になるので、基本要素の線図を重ねれば描ける。

要点

基本要素の漸近線

要素ゲイン漸近線位相
比例 KK20log⁡K20\log K（水平）0∘0^\circ
積分 1/s1/s−20-20 dB/dec−90∘-90^\circ
微分 ss+20+20 dB/dec+90∘+90^\circ
1次遅れ 11+s/ωc\dfrac{1}{1+s/\omega_c}折点 ωc\omega_c 以降 −20-20 dB/dec0∘→−90∘0^\circ\to-90^\circ
2次 ωn2s2+2ζωns+ωn2\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}折点 ωn\omega_n 以降 −40-40 dB/dec0∘→−180∘0^\circ\to-180^\circ

手順：ボード線図の概形を描く

  1. G(s)G(s) を時定数形（K∏(1+s/zi)sN∏(1+s/pj)\frac{K\prod(1+s/z_i)}{s^N\prod(1+s/p_j)}）に整理し、折点周波数を列挙。
  2. 低周波の漸近線を引く：ゲインは 20log⁡K−20Nlog⁡ω20\log K - 20N\log\omega（傾き −20N-20N dB/dec）。
  3. 折点ごとに傾きを更新：極で −20-20、零点で +20+20 dB/dec（2次極なら −40-40）。
  4. 位相は各要素の寄与を足す（極で −90∘-90^\circ、零点で +90∘+90^\circ、折点の前後1デケードで遷移）。
  5. 折点近傍は漸近線から実際は ±3\pm3 dB ずれる（1次で折点ちょうど −3-3 dB）ので滑らかに補正。

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