ベクトル軌跡とナイキスト線図

複素関数論の偏角の原理：閉曲線 $C$ の内部で $F(s)=1+L(s)$ が $Z$ 個の零点、$P$ 個の極をもつと、$s$ が $C$ を1周するとき $F(s)$ は原点を $Z-P$ 回（反時計回り）回る。$C$ を右半面全体を囲むナイキスト経路にとると、$F=1+L$ が原点を回る回数は$L$ が $-1$ を回る回数に等しい。時計回り周回数を $N$ と定義すれば $-(Z-P)=N$... 符号を整理して$Z=N+P$。閉ループが安定なのは内部（右半面）に $1+L$ の零点がない $Z=0$ のときである。□

$L$ は右半面に極をもたない（$P=0$）ので、$-1$ を囲まないことが条件。$\angle L(\mathrm{j}\omega)=-3\arctan\omega=-180^\circ$ となるのは $\arctan\omega=60^\circ$、$\omega=\sqrt3$。このとき $\left\vert L\right\vert =\dfrac{K}{(\sqrt{1+3})^3}=\dfrac{K}{8}$。軌跡が $-1$ を通る（臨界）のは $K/8=1$、$K=8$。$K<8$ なら $\left\vert L\right\vert <1$ で $-1$ を囲まず安定、$K>8$ で不安定。（検算：Routh で $(s+1)^3+K=s^3+3s^2+3s+1+K$、安定条件 $3\cdot3>1+K$ すなわち $K<8$ と一致。）