複素正弦波は正規直交系をなす

信号処理論入門　第2章 §2.1　★ 直交性が各周波数を混信なく取り出せる根拠

本章では周期 $T_0$ をもつ連続時間信号を、複素正弦波の族という正規直交基底へ展開する Fourier 級数を扱う。「信号を基底へ射影して展開係数を並べる」という第1章§1.3の視点を最初に具体化する場面であり、ここで身につけた見方が Fourier 変換・DTFT・DFT のすべてに引き継がれる。

周期 $T_0$、基本角周波数 $\omega_0=2\pi/T_0$ とする。区間 $[0,T_0]$ 上の複素正弦波の族

$$\phi_k(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t}\qquad(k\in\mathbb{Z})$$

を考える。内積を $\left\langle f,g\right\rangle =\int_0^{T_0}f(t)\overline{g(t)}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ と定めると、

$$\left\langle \phi_k,\phi_l\right\rangle =\int_0^{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j} l\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t =\int_0^{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(k-l)\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t =\begin{cases}T_0,& k=l,\\[2pt] 0,& k\ne l,\end{cases}\tag{2.2}$$

となる。$k\ne l$ のとき積分が $0$ になるのは、被積分関数が整数周期$\mathrm{e}^{\mathrm{j}(k-l)\omega_0 t}$ をちょうど整数回まわり、1周期の積分が消えるからである。したがって $\{\phi_k/\sqrt{T_0}\}$ は正規直交系をなす。異なる周波数の成分どうしが直交するというこの一点が、「各周波数成分を混信なく取り出せる」ことを保証する Fourier 解析の土台である。