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Fourier 級数の定義と展開係数

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第2章 Fourier 級数展開 — 周期信号を正規直交基底で表す

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第2章 §2.2　★★ 係数の実虚・偶奇対称

要点

Fourier 級数（複素形式）。周期 T0T_0 の信号 x(t)x(t) に対し

x(t)=∑k=−∞∞ck ejkω0t(合成: 展開係数から信号へ),ck=1T0∫0T0x(t) e−jkω0t ⁣dt(分析: 信号から展開係数へ).\begin{align*}x(t)&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t} &&(\text{合成:\ 展開係数から信号へ}),\\c_k&=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j} k\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t &&(\text{分析:\ 信号から展開係数へ}).\end{align*}

係数の式は、展開式の両辺と ϕk\phi_k の内積を取り、直交性(2.2)でk=lk=l の項だけを残せば直ちに出る。すなわち ck=⟨x,ϕk⟩/T0c_k=\left\langle x,\phi_k\right\rangle /T_0 であり、展開係数とは信号を各複素正弦波へ射影した成分である。ckc_k の集合 {ck}\{c_k\} を離散的なスペクトルと呼び、∣ck∣\left\vert c_k\right\vert が周波数 kω0k\omega_0 の成分の振幅、arg⁡ck\arg c_k が位相を表す。

実信号 x(t)∈Rx(t)\in\mathbb{R} のときは c−k=ck‾c_{-k}=\overline{c_k}（共役対称）が成り立ち、正負の周波数成分が対になって実の余弦・正弦を作る。これを使えばcos⁡,sin⁡\cos,\sin による実形式の Fourier 級数x(t)=a02+∑k≥1(akcos⁡kω0t+bksin⁡kω0t)x(t)=\tfrac{a_0}{2}+\sum_{k\ge1}\bigl(a_k\cos k\omega_0 t+b_k\sin k\omega_0 t\bigr)とも書けるが、計算は複素形式の方が一貫して簡単である。

負の周波数とは何か

ejωt\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} は複素平面上を回る単位ベクトルで、ω>0\omega>0 なら反時計回り、ω<0\omega<0 なら時計回りに回る—— ω\omega の符号は回転の向きを表す（回転の速さは ∣ω∣\left\vert \omega\right\vert）。実数の余弦は1本の回転では作れず、逆向きに回る2本の和で初めて実になる：

cos⁡ω0t=12(ejω0t⏟+ω0, 反時計+e−jω0t⏟−ω0, 時計).\cos\omega_0 t=\tfrac12\bigl(\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t}}_{+\omega_0,\ \text{反時計}} +\underbrace{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_0 t}}_{-\omega_0,\ \text{時計}}\bigr).

2本のベクトルは虚部（縦）が打ち消し合い、実部（横）の往復運動だけが残る。だから実信号のスペクトルは必ず +ω+\omega と −ω-\omega が対で現れ（c−k=ck‾c_{-k}=\overline{c_k}、連続では X(−ω)=X(ω)‾X(-\omega)=\overline{X(\omega)}）、台も原点対称になる。負の周波数は「余分な架空の波」ではなく、実信号を作るのに要る相方の半分である（+ω+\omega 単独を取り出せるのは複素信号のときだけ）。「1秒あたりの振動回数」という素朴な意味の周波数は非負だが、複素指数で表す約束をした瞬間、符号が回転の向き＝位相の約束として現れる、と理解しておけばよい。

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
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