Parseval の等式 — エネルギーは係数側でも数えられる

信号処理論入門　第2章 §2.3　★★ エネルギー保存。級数和・帯域幅の計算

内積を基底で展開して二乗和を取ると、正規直交性から交差項が消え、Parseval の等式が得られる。

導出。 第1章の「ノルム二乗＝射影二乗の和」の一行そのものである。展開 $x(t)=\sum_k c_k\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t}$ を $\left\vert x\right\vert ^2=x\overline{x}$ に代入し、二重和にして項別に積分すると

$$\int_0^{T_0}\left\vert x(t)\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sum_{k}\sum_{l}c_k\overline{c_l}\int_0^{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(k-l)\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sum_{k}\sum_{l}c_k\overline{c_l}\,T_0\delta_{kl} =T_0\sum_{k}\left\vert c_k\right\vert ^2 .$$

急所は基底の正規直交性 $\displaystyle\int_0^{T_0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(k-l)\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t=T_0\delta_{kl}$（$k\ne l$ の交差項が積分でちょうど $0$ になり、対角項 $k=l$ だけが残る）にある。両辺を $T_0$ で割れば上式を得る。左辺は信号の平均パワー、右辺は各周波数成分のパワーの総和である。これは幾何的には「ベクトルの長さの二乗は正規直交成分の二乗和に等しい」というPythagoras の定理の無限次元版に他ならない。「時間領域で測ってもスペクトル側で測ってもエネルギーは同じ」というこの保存則は、以後 Fourier 変換・DFT でも形を変えて何度も現れる。