Dirichlet 核と収束・Gibbs 現象

信号処理論入門　第2章 §2.4　★ Gibbs現象は窓関数（第6章）の伏線

部分和 $x_N$ を係数の定義に戻して和を実行すると、畳み込みの形にまとまる。

$$x_N(t)=\sum_{\left\vert k\right\vert \le N}c_k\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t} =\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}x(\tau)\,D_N(t-\tau)\mathop{}\!\mathrm{d}\tau,\quad D_N(t)=\sum_{k=-N}^{N}\mathrm{e}^{\mathrm{j} k\omega_0 t}.$$

ここで現れた $D_N$ をDirichlet 核と呼ぶ。等比級数の和として閉じた形に書けて、

$$D_N(t)=\frac{\sin\!\bigl((N+\tfrac12)\omega_0 t\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac12\omega_0 t\bigr)} .\tag{2.7}$$

つまり部分和は、元信号を Dirichlet 核で畳み込んだ（平滑化した）ものである。$N\to\infty$ で $D_N$ は $\delta$ 関数列のように鋭くなり、$x$ が区分的に滑らかなら $x_N(t)$ は各連続点で $x(t)$ に収束する（Dirichlet の条件）。不連続点では左右の平均値 $\tfrac12\bigl(x(t^+)+x(t^-)\bigr)$ に収束する。

ただし不連続点の近傍では、$N$ をいくら増やしても跳びの約 $9\%$ のオーバーシュートが消えない。これをGibbs 現象という。原因は Dirichlet 核(2.7)が振動しながら緩やかにしか減衰しない（負の値をもつ）ことにあり、方形波などをそのまま有限本で近似するときに必ず現れる。第6章の窓関数は、まさにこの「打ち切りに伴うリンギング」を抑える工夫である。