Fourier 級数から Fourier 変換へ

信号処理論入門　第3章 §3.1　★ 極限移行。逆変換の1/2πの位置に注意

周期 $T_0$ を無限大に飛ばすと、離散的なスペクトル $\{c_k\}$ が連続なスペクトル $X(\omega)$ へ移り、Fourier 級数はFourier 変換になる。本章は前半の中心であり、定義・主要変換対・性質（線形性、シフト、スケール、微分、畳み込み定理、Parseval）を、その場で導ける状態にしておくことを目標とする。

周期 $T_0$ の信号の係数 $c_k=\frac1{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j} k\omega_0 t}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ で、$\omega_0=2\pi/T_0\to0$ とすると、離散周波数 $k\omega_0$ は連続変数 $\omega$ に、和 $\sum_k(\cdot)\omega_0$ は積分 $\int(\cdot)\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$ に化ける。$T_0 c_k\to X(\omega)$ とスケールし直すと次の対を得る。

逆変換に付く $\dfrac1{2\pi}$ の位置は流儀により異なるが、本書は順変換に係数なし・逆変換に $1/2\pi$ を置く規約を採る。角周波数 $\omega=2\pi f$ で書いていることに注意（$f$ で書けば $2\pi$ は消える）。以降はこの規約で統一する。