基本変換対 — 暗記すべき道具箱

信号処理論入門　第3章 §3.2　★★★ 矩形・指数・Gaussは導出が短く、後の計算で繰り返し使う

以下はよく使う変換対である。導出を本節で与えるが、最終形は覚えておくと後の計算が速い。$u(t)$ は単位ステップ、$\operatorname{sgn}(t)$ は符号関数、$p_T(t)$ は$\left\vert t\right\vert \le T$ で $1$、それ以外で $0$ の矩形パルスとする。いずれも検算スクリプト で数値検算済みである（$\alpha>0$）。

ここで $\operatorname{sinc} x=\dfrac{\sin x}{x}$（$\operatorname{sinc} 0=1$）とした。矩形パルスの変換が $\operatorname{sinc}$ であること、そして逆に $\operatorname{sinc}$ 型の信号の変換が矩形になること（双対性）は、サンプリング定理の再構成公式（第5章）で決定的な役割を果たす。