Fourier 変換の性質

信号処理論入門　第3章 §3.3　★★★ シフト・変調・畳み込み定理は組み合わせて使う

以下の性質は、新しい変換対を「一から積分せずに」導くための武器である。変換対を覚えておけば、これらの性質との組み合わせで大半の変換が求まる。$x(t)\leftrightarrow X(\omega)$ とする。

とくに重要なのは次の三つである。(1) 時間シフトは振幅を変えず位相だけを $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}$ 回す（$\S$複素数で見た「乗算＝回転」がここで効く）。(2) スケール変換は「時間を縮めると周波数が広がる」ことを表し、$\left\vert a\right\vert$ の因子は面積（エネルギー）の帳尻合わせである—時間・周波数の不確定性関係の数学的な芯である。(3) 畳み込み定理—時間領域の畳み込みが周波数領域では単なる積になる—は、LTIシステムの出力 $y=x* h$ のスペクトルが $Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)$ となることを意味し、$H(\omega)$（周波数応答）を掛けるだけでフィルタリングを記述できる根拠である。