対称性（実虚 $\times$ 偶奇の四通り）

信号処理論入門　第3章 §3.4　★★ 実虚$\times$偶奇の4通り分類

信号が実数値か純虚数値か、偶関数か奇関数かで、スペクトルの実虚と偶奇も決まってしまう。この対応は答えの妥当性をその場で検算する道具になる。覚えるのではなく、次の一行から毎回作れるようにしておくのがよい。

出発点は定義に Euler の公式 $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}=\cos\omega t-\mathrm{j}\sin\omega t$ を入れた形である：

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\cos(\omega t)\mathop{}\!\mathrm{d} t -\mathrm{j}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\sin(\omega t)\mathop{}\!\mathrm{d} t .\tag{3.3}$$

積分区間 $(-\infty,\infty)$ は原点対称だから、被積分関数が $t$ の奇関数であればその積分は $0$ になる。$\cos$ は $t$ の偶関数、$\sin$ は $t$ の奇関数なので、$x$ の偶奇を決めれば式(3.3)の二項のうち片方が必ず落ちる。残った項が実数か純虚数かは、$x$ の値が実数か純虚数かで決まる。これだけで四通りが全部出る。

具体的に二つだけ書き下しておく。$x$ が実数値の偶関数なら、$x(t)\sin\omega t$ が $t$ の奇関数なので第2項が消え、$X(\omega)=\int x(t)\cos(\omega t)\mathop{}\!\mathrm{d} t$ は実数である。さらに $\cos(-\omega t)=\cos(\omega t)$ だから $X(-\omega)=X(\omega)$ で、$X$ は $\omega$ の偶関数になる。次に $x$ が純虚数値の奇関数の場合は、実数値関数 $h$ を用いて $x(t)=\mathrm{j} h(t)$（$h$ は奇関数）と書ける。$\mathrm{j}$ を積分の外に出すと $h(t)\cos\omega t$ が奇関数で第1項が消え、

$$X(\omega)=\mathrm{j}\cdot\Bigl(-\mathrm{j}\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\sin(\omega t)\mathop{}\!\mathrm{d} t\Bigr) =\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\sin(\omega t)\mathop{}\!\mathrm{d} t$$

となる。$x$ に掛かる $\mathrm{j}$ と $\sin$ 積分から出る $-\mathrm{j}$ が相殺するので、純虚数値の信号なのにスペクトルは実数値である。$\sin(-\omega t)=-\sin(\omega t)$ より $X(-\omega)=-X(\omega)$ で、$X$ は奇関数になる。