Parseval の等式とパワースペクトル

信号処理論入門　第3章 §3.5　★★ エネルギー定理と自己相関の$|X|^2$

Fourier 変換版の Parseval（Rayleigh のエネルギー定理）は次の通り。

導出（一般化版から）。 まず二信号 $x,y$ に対する一般化 Parseval（Plancherel）$\displaystyle\int x\overline{y}\mathop{}\!\mathrm{d} t=\frac{1}{2\pi}\int X\overline{Y}\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$ を示す。左辺の $\overline{y(t)}$ を逆変換 $\overline{y(t)}=\dfrac{1}{2\pi}\int\overline{Y(\omega)}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$で書き換え、積分順序を交換すると

$$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\overline{y(t)}\mathop{}\!\mathrm{d} t =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{Y(\omega)} \underbrace{\Bigl[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t\Bigr]}_{=\,X(\omega)}\mathop{}\!\mathrm{d}\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\overline{Y(\omega)}\mathop{}\!\mathrm{d}\omega .$$

急所は、内側の $t$ 積分がちょうど $X(\omega)$ の定義になっている点である。ここで $y=x$（したがって $Y=X$）とおけば $\int\left\vert x\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d} t=\frac{1}{2\pi}\int\left\vert X\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$、すなわち上のエネルギー等式を得る（係数 $1/2\pi$ は逆変換の規格化がそのまま残ったもので、$f=\omega/2\pi$ で書く流儀では消える）。左辺は信号の全エネルギー、$\left\vert X(\omega)\right\vert ^2$ はエネルギースペクトル密度である。さらに、自己相関関数 $r_{xx}(\tau)$ の Fourier 変換が $\left\vert X(\omega)\right\vert ^2$ に等しい（決定論版 Wiener–Khinchin）。実際

$$\mathcal{F}[r_{xx}](\omega)=\mathcal{F}\bigl[x*\overline{x(-\cdot)}\bigr](\omega) =X(\omega)\cdot\overline{X(\omega)}=\left\vert X(\omega)\right\vert ^2$$

であり、第1章で「自己相関の Fourier 変換はパワースペクトル」と述べた事実が畳み込み定理から一行で出る。位相情報が失われる（$\left\vert X\right\vert ^2$ しか残らない）ため、自己相関はパワーの分布だけを見る道具だと理解しておくとよい。

上の導出は暗記ではなく三行の型にできる。一般化 Parseval の等式の証明は、この三行を順に書けば済む。