本章のまとめ

2026年10月15日5分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第3章 Fourier 変換 — 非周期信号のスペクトル

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第3章 §3.6　★★★ 定義・変換対・性質を1枚に

Fourier 変換は非周期信号のスペクトルを与える本書前半の中心である。定義（順変換は係数なし・逆変換に $1/2\pi$ ）と暗記すべき基本変換対、そして「一から積分せずに新しい対を導く」ための性質（線形・シフト・変調・スケール・微分・畳み込み・Parseval）を下表に集約する。

事項	要点（式）	使い所・注意
定義	$X(\omega)=\mathcal{F}[x]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ 、逆変換 $x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$	順は係数なし・逆に $1/2\pi$ （本書の規約）。 $\omega=2\pi f$ で書いている点に注意
変換対（矩形・指数）	$p_T(t) \;\longleftrightarrow\; \dfrac{2\sin\omega T}{\omega}=2T\operatorname{sinc}(\omega T)$ 、 $\mathrm{e}^{-\alpha t}u(t)\!\to\!\dfrac{1}{\alpha+\mathrm{j}\omega}$ 、 $\mathrm{e}^{-\alpha\left\vert t\right\vert }\!\to\!\dfrac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$ （ $\alpha>0$ ）	定義に代入してその場導出。矩形 $\leftrightarrow\operatorname{sinc}$ の双対はサンプリング定理の要
変換対（Gauss・特異）	$\mathrm{e}^{-\alpha t^2}\!\to\!\sqrt{\pi/\alpha}\,\mathrm{e}^{-\omega^2/4\alpha}$ 、 $u(t)\!\to\!\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{\mathrm{j}\omega}$ 、 $\operatorname{sgn}(t)\!\to\!\dfrac{2}{\mathrm{j}\omega}$ 、 $\delta\!\to\!1$ 、 $1\!\to\!2\pi\delta(\omega)$	Gauss は再び Gauss（最小不確定）。ステップの $\pi\delta(\omega)$ を落とさない（直流成分）
線形・シフト・変調	線形 $ax+by\!\to\!aX+bY$ 、時間シフト $x(t-t_0)\!\to\!\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}X(\omega)$ 、変調 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t}x(t)\!\to\!X(\omega-\omega_0)$	シフトは振幅不変・位相のみ $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}$ 回す。変調＝スペクトルを $\pm\omega_0$ へ平行移動（AM）
スケール・反転・共役	$x(at)\!\to\!\dfrac{1}{\left\vert a\right\vert }X\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right)$ 、 $x(-t)\!\to\!X(-\omega)$ 、 $\overline{x(t)}\!\to\!\overline{X(-\omega)}$	時間を縮めると周波数が広がる（不確定性の芯）。 $1/\left\vert a\right\vert$ は面積（エネルギー）補正
微分・畳み込み	微分 $\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\!\to\!\mathrm{j}\omega X(\omega)$ 、畳み込み $(x* y)\!\to\!X(\omega)Y(\omega)$ 、積 $x y\!\to\!\dfrac{1}{2\pi}(X* Y)$	畳み込み定理＝LTI 出力 $Y=XH$ （ $H$ ＝周波数応答）。フィルタは周波数領域で掛算
Parseval・パワー	一般化（内積保存） $\displaystyle\int x\overline y\mathop{}\!\mathrm{d} t=\dfrac{1}{2\pi}\int X\overline Y\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$ 、 $y{=}x$ で $\displaystyle\int\left\vert x\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d} t=\dfrac{1}{2\pi}\int\left\vert X\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d}\omega$ 、 $\mathcal{F}[r_{xx}]=\left\vert X(\omega)\right\vert ^2$	証明は $\overline y$ だけ逆変換で書換 $\to$ 順序交換 $\to$ 内側が $X$ の定義の三行。 $\left\vert X\right\vert ^2$ ＝エネルギースペクトル密度＝自己相関の変換（位相は失われる）
対称性（実虚 $\times$ 偶奇）	実偶 $\to$ 実偶、実奇 $\to$ 虚奇、虚偶 $\to$ 虚偶、虚奇 $\to$ 実奇。実信号 $\Rightarrow X(-\omega)=\overline{X(\omega)}$ （ $\left\vert X\right\vert$ 偶・位相奇）	偶奇は保存・実虚は $x$ が奇のときだけ入替の二行で復元（§3.4）。級数係数 $c_k$ ・DFT の $X[k]$ でも同じ表。答えの妥当性を即検算

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