定義と $2\pi$ 周期性

信号処理論入門　第4章 §4.1　★★ 離散化と周期化の双対

離散時間信号 $x[n]$（$n\in\mathbb{Z}$）のスペクトルを与えるのが離散時間 Fourier 変換（DTFT: Discrete-Time Fourier Transform）である。連続時間 Fourier 変換の積分を総和に置き換えたものだが、周波数について $2\pi$ 周期になるという離散系特有の性質が現れ、これがサンプリング定理（第5章）の折り返しと直結する。

順変換 $X(\Omega)$ は $\Omega$ の連続関数であり、$\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\Omega+2\pi)n}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n}$（$n$ は整数）ゆえ$X(\Omega)$ は $\Omega$ について周期 $2\pi$ の周期関数である。したがって逆変換は1周期 $[-\pi,\pi]$ の積分でよい。「離散化（時間）↔周期化（周波数）」というこの双対関係は、第5章で「周期化（時間）↔離散化（周波数）」として鏡像的にもう一度現れる。

正規化周波数 $\Omega$ は「1サンプルあたりの位相回転量」であり、$\Omega=\pi$ が1サンプルあたり半回転、すなわち離散系で表せる最高周波数に対応する（隣り合うサンプルが $+1,-1,+1,\dots$ と振れる最速の振動）。この $\Omega=\pi$ が後で Nyquist 周波数として効いてくる。