本章のまとめ

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第4章離散時間 Fourier 変換（DTFT）

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第4章 §4.3　★★ DTFT定義・ $2\pi$ 周期・ $a^n u[n]$ ・逆DTFTの部分分数を1枚に

DTFT は連続 Fourier 変換の積分を総和に置き換えたもので、骨は「分析は総和・合成は1周期積分」である。離散化ゆえ $\Omega$ について $2\pi$ 周期になり、代表対 $a^n u[n]\mathcal{F} 1/(1-a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})$ と、有理関数型スペクトルの逆変換＝部分分数分解が計算の中心になる。

事項	要点（式）	使い所・注意
定義（分析・合成）	$X(\Omega)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n}$ 、逆変換 $x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega n}\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega$	連続FTの積分を総和に置換。合成は1周期 $[-\pi,\pi]$ の積分でよい
$2\pi$ 周期性	$\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\Omega+2\pi)n}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n}$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）ゆえ $X(\Omega+2\pi)=X(\Omega)$	「離散化（時間）↔周期化（周波数）」の双対。第5章の折り返しと直結
正規化周波数	$\Omega=\omega T_s$ ＝1サンプルあたりの位相回転量。 $\Omega=\pi$ が半回転＝表せる最高周波数	$\Omega=\pi$ が後のNyquist周波数。 $+1,-1,+1,\dots$ が最速振動
主要変換対	$a^n u[n]\mathcal{F}\dfrac{1}{1-a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega}}$ （ $\left\vert a\right\vert <1$ 、等比級数の和）	最もよく使う。収束条件 $\left\vert a\right\vert <1$ ＝系の安定性に対応
主な性質	時間シフト $x[n-n_0]\mathcal{F}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n_0}X(\Omega)$ 、畳み込み $(x* h)[n]\mathcal{F} X(\Omega)H(\Omega)$	連続系とほぼ平行。シフトは整数 $n_0$ ・畳み込みは総和で定義
逆DTFT（部分分数）	$\dfrac{1}{(1-a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})(1-b\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})}\mathcal{F}\dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\,u[n]$	$z=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega}$ と見て部分分数に分け既知対へ帰着。ラプラスでも通用

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