本章のまとめ

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5章サンプリング定理と離散 Fourier 変換（DFT）

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第5章 §5.4　★★★ 四変換の地図と標本化＝スペクトル複製が本章の核。折り返しとsinc補間が要点

本章は「時間の連続/離散・周波数の連続/離散」の二軸で四つの Fourier 変換を地図化し、標本化を周波数領域のスペクトル複製として捉えることで折り返しとサンプリング定理を導いた。下表に本章の全事項を、式と使い所つきでまとめる。

事項	要点（式）	使い所・注意
四変換の地図	時間連続/離散・周波数連続/離散の2軸：FS（連続周期）・FT（連続非周期）・DTFT（離散非周期・ $2\pi$ 周期）・DFT（離散有限）。時間離散化 $\to$ 周波数周期化、時間周期化 $\to$ 周波数離散化	迷ったらこの表に戻る。有限和で計算機で回せるのはDFTだけ
標本化＝デルタ列積	$x_s(t)=x(t)\,\mathrm{III}(t)=\sum_n x(nT_s)\,\delta(t-nT_s)$ 。デルタ列の変換は再びデルタ列 $\mathcal{F}[\mathrm{III}]=\omega_s\sum_k\delta(\omega-k\omega_s)$	インパルス列モデルはCTFT・畳み込み定理を使うための道具立て
スペクトル複製	時間の積 $\to$ 周波数の畳み込みより $X_s(\omega)=\dfrac1{T_s}\sum_{k}X(\omega-k\omega_s)$ （ $\omega_s=2\pi/T_s$ ）	標本化＝ $X$ を $\omega_s$ 間隔で $\tfrac1{T_s}$ 倍コピーして重ね合わせ
サンプリング定理	帯域制限（ $\left\vert \omega\right\vert >\omega_{\max}$ で $X=0$ ）なら $\omega_s>2\omega_{\max}$ （ $f_s>2f_{\max}$ ）で完全復元。 $f_s{=}2f_{\max}$ ＝Nyquistレート、 $f_s/2$ ＝Nyquist周波数	コピーが重ならない条件。等号なしなのは $f_s/2$ の $\sin$ が標本に映らないため
エイリアシング	$\omega_s<2\omega_{\max}$ で隣接コピーの裾が $\omega\approx\omega_s/2$ で足し込まれ分離不能	一度折り返した偽信号はデジタルでは除去不可。先にアンチエイリアシングフィルタ
$\operatorname{sinc}$ 内挿復元	理想LPF（利得 $T_s$ ・遮断 $\omega_s/2$ ）で1周期を切り出す： $x(t)=\sum_n x(nT_s)\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\pi(t-nT_s)}{T_s}\bigr)$	$\operatorname{sinc}$ の零点が他の全標本時刻に乗る＝標本を保ちつつ唯一のなめらかな繋ぎ
CTFT $\leftrightarrow$ DTFT橋渡し	$\Omega=\omega T_s$ （正規化周波数）で $X_D(\Omega)=\dfrac1{T_s}\sum_k X\!\bigl(\tfrac{\Omega-2\pi k}{T_s}\bigr)$ 。折り返し無しなら $\left\vert \Omega\right\vert <\pi$ で $X_D=\tfrac1{T_s}X(\Omega/T_s)$	$\omega_s\leftrightarrow\Omega{=}2\pi$ 、Nyquist $\leftrightarrow\Omega{=}\pi$ 。DTFTの $2\pi$ 周期＝時間離散化の双対
DFT・IDFT	$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi kn/N}$ 、 $x[n]=\tfrac1N\sum_k X[k]\,\mathrm{e}^{\mathrm{j} 2\pi kn/N}$ 。DTFTを $\Omega_k=2\pi k/N$ で標本化	$N$ 本の離散正弦波への正規直交展開（ $\bm X{=}\bm F\bm x$ ）。積は巡回畳み込み
DFT分解能	$k$ 軸1目盛りの物理周波数 $\Delta f=\dfrac{f_s}{N}$ （標本化周波数 $\div$ 標本数）	$N$ （測定長）を伸ばすほど細かい。零詰めでは真の分解能は上がらない（次章）

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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